已知椭圆：的长轴长为4，且过点．
（１）求椭圆的方程；
（２）设、、是椭圆上的三点，若，点为线段的中点，、两点的坐标分别为、，求证：．

在直角坐标系中,点到两点的距离之和等于4,设点的轨迹为,直线与交于两点.
(1)写出的方程;
(2) ，求的值.

在直角坐标系中,点到两点的距离之和等于4,设点的轨迹为,直线与交于两点.
(1)写出的方程;
(2)若点在第一象限,证明当时,恒有.

已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点C（-1，0）且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点，试问在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点A，B.
(1)求的取值范围；，
(2)若直线不经过点，求证：直线的斜率互为相反数.

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点A，B.
(1)求的取值范围；，
(2)若直线不经过点，求证：直线的斜率互为相反数.

在平面直角坐标系中，已知点，，为动点，且直线与直线的斜率之积为.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设过点的直线与曲线相交于不同的两点，.若点在轴上，且，求点的纵坐标的取值范围.

在平面直角坐标系中，动点到两点，的距离之和等于，设点的轨迹为曲线，直线过点且与曲线交于，两点．
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）是否存在△面积的最大值，若存在，求出△的面积；若不存在，说明理由.

已知椭圆方程为，过右焦点斜率为1的直线到原点的距离为.

(1)求椭圆方程.
(2)已知为椭圆的左右两个顶点，为椭圆在第一象限内的一点，为过点且垂直轴的直线，点为直线与直线的交点，点为以为直径的圆与直线的一个交点，求证：三点共线.

已知椭圆的两个焦点和上下两个顶点是一个边长为2且∠F₁B₁F₂为的菱形的四个顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点F₂ ，斜率为（）的直线与椭圆相交于两点，A为椭圆的右顶点，直线、分别交直线于点、，线段的中点为，记直线的斜率为.求证:为定值.