已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点（4，-）（1）求双曲线的方程.（2）若点M(3,m)在双曲线上，求证：.（3）若点A,B在双曲线上，点N(3,1)恰好是AB的中点，求直线AB的方程(12分)

（本小题满分14分）
已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上. 且经过点，
（1）求抛物线的方程；
（2）若动直线过点，交抛物线于两点，是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.

某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长.

已知椭圆C的焦点F₁（－，0）和F₂（，0），长轴长6。
(1)求椭圆C的标准方程。
(2)设直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。

为何值时，直线和曲线有两个公共点？有一个公共点？
没有公共点？

双曲线的离心率等于2，且与椭圆有相同的焦点，求此双曲线的标准方程．

已知椭圆的中点在原点且过点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，求该椭圆的方程．

(本题满分13分)
已知椭圆C的两焦点分别为，长轴长为6，
⑴求椭圆C的标准方程;
⑵已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度。

（本小题满分14分）设椭圆（）经过点，其离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
(Ⅱ) 直线交椭圆于两点，且的面积为，求的值.

（本小题满分13分）如图所示，直线l与抛物线y²=x交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，与x轴交于点M，且y₁y₂＝－1，

（Ⅰ）求证：点的坐标为；
（Ⅱ）求证：OA⊥OB；
（Ⅲ）求△AOB面积的最小值。