椭圆的长轴长是短轴长的两倍，且过点
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于不同的两点，求的值.

(本小题满分12分) 求满足下列条件的椭圆的标准方程．
（1）焦点在坐标轴上，且经过两点；
（2）经过点（2，－3）且与椭圆具有共同的焦点．

(本小题满分12分)
设A₁、A₂是双曲线的实轴两个端点，P₁P₂是双曲线的垂直于轴的弦，
（Ⅰ）直线A₁P₁与A₂P₂交点P的轨迹的方程；
（Ⅱ）过与轴的交点Q作直线与（1）中轨迹交于M、N两点，连接FN、FM，其中F,求证：为定值；

（本小题满分12分）
已知是双曲线上不同的三点，且连线经过坐标原点，
若直线的斜率乘积，求双曲线的离心率；

（I） 已知抛物线过焦点的动直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点, 求证: 为定值;
（Ⅱ）由 （Ⅰ） 可知: 过抛物线的焦点的动直线 l 交抛物线于两点, 存在定点, 使得为定值. 请写出关于椭圆的类似结论,并给出证明.

(本小题满分14分) 如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A、B、C三点，过坐标原点O的直线与抛物线交于M、N两点.分别过点C、D作平行于轴的直线、.（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；（2）求证:以ON为直径的圆与直线相切；（3）求线段MN的长（用表示），并证明M、N两点到直线的距离之和等于线段MN的长.

已知圆O:交轴于A，B两点,曲线C是以为长轴,离心率为的椭圆,其左焦点为F．若P是圆O上一点连结PF,过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q．

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点P的坐标为(1,1),求证:直线PQ与圆相切；
(3)试探究:当点P在圆O上运动时(不与A、B重合),直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由．

已知椭圆上的动点到焦点距离的最小值为，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点(2，0)的直线与椭圆相交于两点，为椭圆上一点， 且满足
（为坐标原点），当 时，求实数的值．

已知椭圆的离心率为，定点M（1，0），椭圆短轴的端点是B₁，B₂，且 
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．试问x轴上是否存在定点P，使PM平分∠APB?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由，

（本题满分12分）
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．