证明：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.

规定，其中，是正整数，且，这是组合数（、是正整数，且）的一种推广．如当＝－5时，
（1）求的值；
（2）设x>０，当x为何值时，取得最小值？
（3）组合数的两个性质；
①．　　②．
是否都能推广到（，是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．

现有0，1，2，3，4，5六个数字。
（1）用所给数字能够组成多少个四位数？
（2）用所给数字可以组成多少个没有重复数字的五位数？
（3）用所给数字可以组成多少个没有重复数字且比3142大的数？
（最后结果均用数字作答）

设（是正整数），利用赋值法解决下列问题：
（1）求；
（2）为偶数时，求；
（3）是3的倍数时，求。

（14分）已知在（其中n<15）的展开式中：
（1）求二项式展开式中各项系数之和；
（2）若展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列，求n的值；
（3）在（2）的条件下写出它展开式中的有理项.

（12分）3名教师与4名学生排成一横排照相，求:
（1）3名教师必须排在一起的不同排法有多少种？
（2）3名教师必须在中间（在3、4、5位置上）的不同排法有多少种？
（3）3名教师不能相邻的不同排法有多少种？

已知的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是，
(1)求n；
(2)求展开式中常数项．

已知展开式的二项式系数和为512，且
.
求的值；     （2）求的值.

求的展开式中二项式系数最大项．

已知(a²＋1)ⁿ展开式中各项系数之和等于(x²＋)⁵的展开式的常数项，而(a²＋1)ⁿ的展开式的二项式系数最大的项等于54，求a的值．