在如图所示的数阵中，第9行的第2个数为________．

观察下列算式：
1³＝1，
2³＝3＋5，
3³＝7＋9＋11，
4³＝13＋15＋17＋19，
……
若某数n³按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则n＝________．

观察下列等式：
(1＋1)＝2×1
(2＋1)(2＋2)＝2²×1×3
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝2³×1×3×5
…
照此规律，第n个等式可为______________．

设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，经计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)> ，f(16)>3，f(32)> ，观察上述结果，对任意正整数n，可推测出一般结论是________．

如图，三角形数阵满足：

（1)第n行首尾两数均为n;
（2）表中的递推关系类似杨辉三角4则第n行（n≥2)第2个数是＿＿＿＿．

已知f(n)=1+++…+(n∈N^*),用数学归纳法证明f(2ⁿ)>时,f(2^k+1)-f(2^k)等于　　　.

若数列{a_n}的通项公式a_n=,记c_n=2(1-a₁)·(1-a₂)…(1-a_n),试通过计算c₁,c₂,c₃的值,推测c_n=　　　.

用数学归纳法证明:(n+1)+ (n+2)+…+(n+n)=(n∈N^*)的第二步中,当n=k+1时等式左边与n=k时的等式左边的差等于　　　.

用数学归纳法证明1+++…+<n(n∈N^*,n>1)时,第一步应验证的不等式是　　　　.

若集合A₁,A₂,…,A_n满足A₁∪A₂∪…∪A_n=A,则称A₁,A₂,…,A_n为集合A的一种拆分.已知:
①当A₁∪A₂={a₁,a₂,a₃}时,有3³种拆分;
②当A₁∪A₂∪A₃={a₁,a₂,a₃,a₄}时,有7⁴种拆分;
③当A₁∪A₂∪A₃∪A₄={a₁,a₂,a₃,a₄,a₅}时,有15⁵种拆分;
……
由以上结论,推测出一般结论:
当A₁∪A₂∪…∪A_n={a₁,a₂,a₃,…,a_n+1}时,有　　　　种拆分.