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某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产一台，需要增加可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台．销售的收入函数为（万元），其中是产品售出的数量（单位：百台）．
（１）  把利润表示为年产量的函数；
（２）  年产量是多少时，工厂所得利润最大？
（３）  年产量是多少时，工厂才不亏本？

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某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不超过，若初时含杂质，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已知）

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某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台，现销售给地10台，地8台．已知从甲地调动1台至地，地的运费分别为400元和800元，从乙地调运1台至地，地的费用分别为300元和500元．
（１）  设从乙地调运台至地，求总费用关于台数的函数解析式；
（２）  若总运费不超过9000元，问共有几种调运方案；
（３）  求出总运费最低的调运方案及最低的费用．

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设和在上的图象是连续不断的一条曲线，而且．证明：在上至少存在一个，使．

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（1）分别写出按甲、乙两种优惠方案实际付款金额_甲（元）、_乙（元）与之间的函数关系式；
（2）如果该商场即允许只选择一种优惠方案购买，也允许同时用两种优惠方案购买，请你就购买这种毛笔10支和这种书法练习本60本设计一种最省钱的购买方案

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（本小题满分15分）已知函数．
（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）若函数与的图象有两个不同的交点，求的取值范围；
（Ⅲ）设点是函数图象上的两点，平行于的切线以为切点，求证：．

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⑴当时，求函数的值域；
⑵若函数在定义域上是减函数，求的取值范围；
⑶求函数在x∈(0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时的值

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有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P（万元）和Q（万元），它们与投入资金x（万元）的关系，有经验公式：，今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，则对甲、乙两种商品的资金投入分别是多少？能获得最大的利润是多少？

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设是定义在实数集上的函数，且对任意实数满足恒成立
（1）求，；
（2）求函数的解析式；
（3）若方程恰有两个实数根在内，求实数的取值范围