科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△CDF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于A′．

（1）求证：A′D⊥EF；
（2）求二面角A′-EF-D的正切值．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成角是30°，点F是PB的中点，点E在矩形ABCD的边BC上移动．
（Ⅰ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF；
（Ⅱ）当CE等于何值时，二面角P-DE-A的大小为45°．

科目： 来源：不详 题型：解答题

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，BB₁⊥底面ABC，D为棱AC的中点，E为棱A₁C₁的中点，且AB=BC=BB₁=1．
（1）求证：CE∥平面BA₁D．
（2）求二面角A₁-BD-C的余弦值．
（3）棱CC₁上是否存在一点P，使PD⊥平面A₁BD，若存在，试确定P点位置，若不存在，请说明理由．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，已知△BCD中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD，BC=2，CD=

3

，AB=

3

，E、F分别为AC、AD上的动点．
（1）若

AE

EC

=

AF

FD

，求证：平面BEF⊥平面ABC；
（2）若

AE

EC

=1，

AF

FD

=2，求平面BEF与平面BCD所成的锐二面角的大小．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2．E是CC₁的中点，
（1）求锐二面角D-B₁E-B的余弦值．
（2）试判断AC与面DB₁E的位置关系，并说明理由．
（3）设M是棱AB上一点，若M到面DB₁E的距离为

21

7

，试确定点M的位置．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥面ABCD，点M、N分别为BC、PA的中点，且PA=AB=2．
（1）证明：BC⊥AMN；
（2）在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥面ACE？若存在，求出PE的长，若不存在，说明理由．
（3）求二面角A-PD-C的正切值．

科目： 来源：不详 题型：填空题

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长为1，底面ABC为直角三角形，AB=AC=1，∠BAC=90°．则二面角B₁-AC-B的大小为______；点A到平面BCC₁B₁的距离等于______．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2

2

，∠PAB=60°．
（1）证明：AD⊥平面PAB；
（2）求异面直线PC与AD所成的角的余弦值；
（3）求二面角P-BD-A的大小余弦值．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，已知ACDE是直角梯形，且ED∥AC，平面ACDE⊥平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，AB=AC=AE=2，ED=

1

2

AB，P是BC的中点．
（Ⅰ）求证：DP∥平面EAB；
（Ⅱ）求平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=CC₁，M是A₁B的中点．
（Ⅰ）在线段B₁C₁上是否存在一点N，使得MN⊥平面A₁BC？若存在，找出点N的位置幷证明；若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）求平面A₁AB和平面A₁BC所成角的大小．