科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中AA₁=AD=1，E为CD中点．
（1）在棱AA₁上是否存在一点P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
（2）若二面角A-B₁E-A₁的大小为30°，求AB的长．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，己知平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=6，AD=3，G为CD中点，现将梯形ABCG沿着AG折起到AFEG．
（I）求证：直线CE∥直线BF；
（II）若直线GE与平面ABCD所成角为

π

6

．
①求证：FG⊥平面ABCD：
②求二面B一EF一A的平面角的余弦值．

科目： 来源：不详 题型：单选题

科目： 来源：不详 题型：解答题

已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=a（a＞0）
（Ⅰ）求证：AC⊥BF；
（Ⅱ）若二面角F-BD-A的大小为60°，求a的值．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；
（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（

3

2

，

1

2

，0），点D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°．
（I）求向量

OD

的坐标；
（Ⅱ）设向量

AD

和

BC

的夹角为θ，求cosθ的值．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））．
（Ⅰ）求证：PB⊥DE；
（Ⅱ）若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，PA=PD=AD=2．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面PQB；
（Ⅱ）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；
（Ⅲ）若PA∥平面MQB，平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M-BQ-C的大小．

科目： 来源：不详 题型：解答题

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点
（1）求证：D₁B₁⊥AE；
（2）求D₁B₁与平面ABE所成角θ的正弦值．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，矩形ABCD中，BC=2，AB=1，PA丄平面ABCD，BE∥PA，BE=

1

2

PA，F为PA的中点．
（I）求证：DF∥平面PEC
（II）若PE=

2

，求平面PEC与平面PAD所成锐二面角的余弦值．