科目： 来源：不详 题型：解答题

已知椭圆C：的左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A，△AF₁F₂为正三角形，且以线段F₁F₂为直径的圆与直线相切.
（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率e；
（Ⅱ）若点P为焦点F₁关于直线的对称点，动点M满足. 问是否存在一个定点T，使得动点M到定点T的距离为定值？若存在，求出定点T的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.

科目： 来源：不详 题型：解答题

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆与曲线的交点为、，求面积的最大值.

科目： 来源：不详 题型：解答题

已知椭圆的焦点在轴上，离心率，且经过点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）斜率为的直线与椭圆相交于两点，求证：直线与的倾斜角互补.

科目： 来源：不详 题型：填空题

已知得顶点、分别是离心率为的圆锥曲线的焦点，顶点在该曲线上，一同学已正确地推得，当时有 ，类似地，当时，有               .

科目： 来源：不详 题型：解答题

已知椭圆的右焦点为 ，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且两焦点和短轴的两端构成边长为的正方形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在直线交与椭圆于， ，且使，使得为的垂心，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

科目： 来源：不详 题型：解答题

已知抛物线的焦点以及椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上．
（1）求抛物线和椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交抛物线于两不同点，交轴于点，已知，则
是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由．

科目： 来源：不详 题型：解答题

在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为，上顶点为，过三点作圆  
（Ⅰ）若线段是圆的直径，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若圆的圆心在直线上，求椭圆的方程;
（Ⅲ）若直线交（Ⅱ）中椭圆于，交轴于，求的最大值  

科目： 来源：不详 题型：解答题

已知、是椭圆的左、右焦点，且离心率，点为椭圆上的一个动点，的内切圆面积的最大值为.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 若是椭圆上不重合的四个点，满足向量与共线，与共
线，且，求的取值范围.

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，离心率为．
分别过，的两条弦，相交于点（异于，两点），且．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线，的斜率之和为定值．

科目： 来源：不详 题型：解答题

已知椭圆：的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，
线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；
（Ⅲ）设与轴交于点，不同的两点在上，且满足，求的取值范围.