科目： 来源：不详 题型：解答题

如图所示，已知A、B、C是椭圆E：=1（a＞b＞0)上的三点，其中点  
A的坐标为（2，0）,BC过椭圆的中心O，且AC⊥BC，|BC|=2|AC|.
（1）求点C的坐标及椭圆E的方程；
（2）若椭圆E上存在两点P、Q，使得∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，试判断向量与是否共线，并给出证明.

科目： 来源：不详 题型：解答题

根据下列条件求椭圆的标准方程：
（1）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；
（2）经过两点A（0，2）和B.

科目： 来源：不详 题型：解答题

在平面直角坐标系xOy中，经过点（0，）且斜率为k的直线l与椭圆+y²=1有两个不同的交点P和Q.
（1）求k的取值范围；
（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量+与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.

科目： 来源：不详 题型：解答题

椭圆的右焦点为F，P₁，P₂，…，P₂₄为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中P₁是椭圆的右顶点，并且∠P₁FP₂=∠P₂FP₃=∠P₃FP₄=…=∠P₂₄FP₁.若这24个点到右准线的距离的倒数和为S，求S²的值． 

科目： 来源：不详 题型：单选题

过椭圆C：上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足），延长PH到点Q，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为（   ）

A．

B．

C．

D．

科目： 来源：不详 题型：填空题

根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O沿正东偏北（）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定。假定机器人行走速度为10米/分钟，则机器人行走2分钟时的可能落点区域的面积是          。

科目： 来源：不详 题型：解答题

在周长为定值的中，已知，且当顶点位于定点时，有最小值为.(1)建立适当的坐标系，求顶点的轨迹方程.(2)过点作直线与(1)中的曲线交于、两点，求的最小值的集合.

科目： 来源：不详 题型：解答题

已知椭圆ε：（a>b>0），动圆：，其中b<R<a. 若A是椭圆ε上的点，B是动圆上的点，且使直线AB与椭圆ε和动圆均相切，求A、B两点的距离的最大值.

科目： 来源：不详 题型：解答题

设椭圆的方程为 , 线段  是过左焦点  且不与  轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 , 使  为正三角形, 求椭圆的离心率  的取值范围, 并用  表示直线  的斜率.

科目： 来源：不详 题型：解答题

.（本小题满分14分）已知直线与椭圆相交于两点，且（其中为坐标原点）．（1）若椭圆的离心率为，求椭圆的标准方程；
（2）求证：不论如何变化，椭圆恒过定点；
（3）若直线过（2）中的定点，且椭圆的离心率，求原点到直线距离的取值范围．