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在椭圆上求一点，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍．

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过抛物线的焦点作互相垂直的两条直线，分别交准线于两点，又过分别作抛物线对称轴的平行线，交抛物线于两点，求证三点共线．

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在中，已知．当动点满足条件时，求动点的轨迹方程．

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是椭圆上异于长轴端点的任一点，，是椭圆的两个焦点，若，．求证：椭圆的离心率．

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已知椭圆长轴长，焦距，过焦点作一直线，交椭圆于两点．设，当取何值时，等于椭圆短轴的长？

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直线与双曲线的右支交于不同的两点．
（1）求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使得以线段为直径的圆经过双曲线的右焦点？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．

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已知抛物线上有两动点及一个定点，为抛物线的焦点，且，成等差数列．
（1）求证：线段的垂直平分线经过定点．
（2）若，（为坐标原点），求此抛物线方程．

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已知椭圆的左、右焦点分别是，是椭圆外的动点，满足，点是线段与该椭圆的交点，设为点的横坐标，证明。

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已知直线与双曲线方程为相交，如果定点为弦的中点，求该直线的方程。

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已知双曲线方程为，以定点为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线的方程，若不存在，请说明理由．