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    科目： 来源：不详 题型：单选题

    已知f（n）=
    1
    n+1
    +
    1
    n+2
    +…+
    1
    3n
    （n∈N*），则下列结论正确的是（　　）
    A．f（1）=
    1
    2
    B．f（k+1）-f（k）=
    1
    3k+1
    +
    1
    3k+2
    +
    1
    3k+3
    C．f（2）=
    1
    3
    +
    1
    6
    D．f（k+1）-f（k）=
    1
    3k+1
    +
    1
    3k+2
    -
    2
    3k+3

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    科目： 来源：不详 题型：解答题

    设Tn=(1-
    1
    4
    )(1-
    1
    9
    )(1-
    1
    16
    )…(1-
    1
    n2
    )(n≥2)    ．
    （Ⅰ）求T2，T3，T4，试用n（n≥2）表示Tn的值．
    （Ⅱ）用数学归纳法证明你的结论．

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    科目： 来源：不详 题型：解答题

    设关于正整数n的函数f（n）=1•22+2•32+…n（n+1）2
    （1）求f（1），f（2），f（3）；
    （2）是否存在常数a，b，c使得f（n）=
    n(n+1)
    12
    (an2+bn+c)    对一切自然数n都成立？并证明你的结论．

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    科目： 来源：不详 题型：解答题

    用数学归纳法证明对任何正整数n有
    1
    3
    +
    1
    15
    +
    1
    35
    +
    1
    63
    +…+
    1
    4n2-1
    =
    n
    2n+1
    ．

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    科目： 来源：不详 题型：解答题

    已知数列{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，对于一切n∈N*均有an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项．
    （1）计算a1，a2，a3，并由此猜想{an}的通项公式an；（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想．

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    科目： 来源：不详 题型：解答题

    证明：等式
    n
    n
    i=1
    xiyi-
    n
    i=1
    xi
    n
    i=1
    yi
    n
    n
    i=1
    xi2
    -(
    n
    i=1
    xi)2
    =
    1
    n
    n
    i=1
    xiyi-
    .
    x
    .
    y
    1
    n
    n
    i=1
    xi2-(
    .
    x
    )    2
    成立．

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    科目： 来源：不详 题型：解答题

    数列{an}中，a1=-
    2
    3
    ，其前n项和Sn满足Sn=-
    1
    Sn-1+2
    （n≥2），
    （1）计算S1，S2，S3，S4；
    （2）猜想Sn的表达式并用数学归纳法证明．

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    科目： 来源：不详 题型：解答题

    已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=-
    1
    2
    ，
    1
    Sn
    +Sn-1=-2(n≥2，n∈N*)    ．
    （1）求S1，S2，S3，S4的值；
    （2）猜想Sn的表达式；并用数学归纳法加以证明．

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    科目： 来源：不详 题型：解答题

    某学生在观察正整数的前n项平方和公式即12+22+32+…+n2=
    n(n+1)(2n+1)
    6
    ，n∈N*时发现它的和为关于n的三次函数，于是他猜想：是否存在常数a，b，1•22+2•32+…+n（n+1）2=
    n(n+1)(n+2)(an+b)
    12
    ．对于一切n∈N*都立？
    （1）若n=1，2时猜想成立，求实数a，b的值．
    （2）若该同学的猜想成立，请你用数学归纳法证明．若不成立，说明理由．

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    科目： 来源：不详 题型：解答题

    函数数列{fn（x）}满足：f1（x）=
    x
    		1+x2
    （x＞0），fn+1（x）=f1[fn（x）]．
    （Ⅰ）求f2（x），f3（x）；
    （Ⅱ）猜想fn（x）的解析式，并用数学归纳法证明．

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