如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D、E分别为AA1、CC1的中点，AC⊥BE，点F在线段AB上，且AB＝4AF.若M为线段BE上一点，试确定M在线段BE上的位置，使得C1D∥平面B1FM.

若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题是真命题的是________．(填序号)

①若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线；

②若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线；

③已知α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥β；

④若m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行．

α、β、γ是三个平面，a、b是两条直线，有下列三个条件：①a∥γ，bβ；②a∥γ，b∥β；③b∥β，aγ.如果命题“α∩β＝a，bγ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．

正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝A1A，D为C1C的中点，O为A1B与AB1的交点．

(1)求证：AB1⊥平面A1BD；

(2)若点E为AO的中点，求证：EC∥平面A1BD.

设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：

①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：________．(填序号)

若直线l与平面α不垂直，则在平面α内与直线l垂直的直线有________条．

已知A、B、C是不共线的三点，直线m垂直于直线AB和AC，直线n垂直于直线BC和AC，则直线m，n的位置关系是________．

下列命题：①一条直线在平面内的射影是一条直线；②在平面内射影是直线的图形一定是直线；③在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等；④两斜线与平面所成的角相等，则这两斜线互相平行．其中真命题的个数是________．

如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆O上不同于A、B的任一点，则图中直角三角形的个数为________．

P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC内的射影．

(1)若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的________心；

(2)若PA⊥BC，PB⊥AC，则O是△ABC的________心；

(3)若PA，PB，PC与底面所成的角相等，则O是△ABC的________心．