已知数列{a_n}中a_n+1-2a_n=0，若a₃+2是a₂，a₄的等差中项，数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足b_n=2ⁿ•log

1

2

an，则使S_n+n•2ⁿ⁺¹=50成立的正整数n等于（　　）

某公司举办一次募捐爱心演出，有1000人参加，每人一张门票，每张100元．在演出过程中穿插抽奖活动，第一轮抽奖从这1000张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动．第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个实数x，y（x，y∈[0，4]），若满足y≥

8

5

x，电脑显示“中奖”，则抽奖者再次获得特等奖奖金；否则电脑显示“谢谢”，则不中特等奖奖金．
（Ⅰ）已知小明在第一轮抽奖中被抽中，求小明在第二轮抽奖中获奖的概率；
（Ⅱ）设特等奖奖金为a元，求小李参加此次活动收益的期望，若该公司在此次活动中收益的期望值是至少获利70000元，求a的最大值．

已知递增数列的等比数列{a_n}前三项之积为8，且这三项分别加上1，2，2后又成等差数列，求等比数列的通项公式．

函数f（x）的定义域为R，f（-2）=3，对任意x∈R，f'（x）＞3，则f（x）＞3x+9的解集为（　　）

某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级的正确率为p=

2

3

，背诵错误的概率为q=

1

3

，现记“该班级完成n首背诵后总得分为S_n”．
（Ⅰ） 求S₆=20且S_i≥0（i=1，2，3）的概率；
（Ⅱ）记ξ=|S₅|，求ξ的分布列及数学期望．

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，△ABC是正三角形，过底面一边BC与侧棱AA₁上的一点所作的三棱柱的截面中，面积的最大值是2

3

，与底面所成二面角的最大值是

π

3

，则该三棱柱的体积等于．

在△ABC中，△ABC的面积为

3 3

2

且c=

7

，3cosC-2sin²C=0，则a=．

已知椭圆E：

x2

a2+1

+

y2

a2

=1（a＞0）的离心率为

1

2

，过点（a²+1，0）且斜率为k（k≠0）的动直线l与椭圆相交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）两点，点P关于x轴的对称点为P′，线段PQ的中点为M（x₀，y₀）．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）证明：直线P′Q过x轴上一定点，并求该定点的坐标；
（Ⅲ）若点M落在椭圆3x²+y²=3的上顶点和左右顶点组成的三角形内部（不包括边界），求实数k的取值范围．

抛物线y²=2px（p＞0）的通径为BC，准线l与对称轴交于A，且F为抛物线的焦点
（1）求证：△ABC为等腰直角三角形；
（2）若p=

2

+1，求△ABC内切圆的方程．

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=

1

2

x²+

1

2

x的图象上，且过点P_n（n，S_n）的切线的斜率为k_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）若b_n=

an

2kn- 1 2

，求数列{b_n}的前项和T_n．