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如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、H分别是棱A₁B₁、C₁D₁上的点（点E 与B₁不重合），且EH∥A₁D₁；过EH的平面与棱BB₁、CC₁相交，交点分别为F、G．
（1）证明：AD∥平面EFGH；
（2）在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内随机选取一点，记该点取自于几何体A₁ABFE-D₁DCGH 内的概率为P，当A₁E=EB₁，B₁B=4B₁F时，求P的值．

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在直三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是边长为2的正三角形，D′是棱A′C′的中点，且AA′=2

2

．
（Ⅰ）试在棱CC′上确定一点M，使A′M⊥平面AB′D′；
（Ⅱ）当点M在棱CC′中点时，求直线AB′与平面A′BM所成角的大小．

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在直三棱柱中，AA₁=AB=BC=3，AC=2，D是AC中点．
（1）求点B₁到平面A₁BD的距离；
（2）求二面角A₁-DB-B₁的余弦值．

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如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）求二面角A-PC-D的平面角α的正弦值．

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如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）证明CD⊥AE；
（2）证明PD⊥平面ABE；
（3）求二面角A-PD-C的正切值．

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