已知函数f（x）=

ax

x2+1

+a，g（x）=alnx-x（a≠0）．
（1）a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）求证：当a＞0时，对于任意x₁，x₂∈（0，e]，总有g（x₁）＜f（x₂）成立．

计算：
（1）

2sin100°-cos70°

cos20°

；
（2）已知sin（2α-β）=

3

5

，sinβ=-

12

13

，且α∈（

π

2

，π），β∈（-

π

2

，0），求sinα的值．

已知正三棱柱内接于一个半径为2的球，则正三棱柱的侧面积取得最大值时，其底面边长为．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为A₁A₂，左、右顶点分别为B₁，B₂为坐标原点，若直线A₁B₂的斜率为-

1

2

，△A₁OB₂的斜边上的中线长为

5

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）P是椭圆C上异于A₁，A₂，B₁，B₂的任一点，直线PA₁，PA₂分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．

曲线C：x=

-y2-2y

与直线l：x-y-m=0有两个交点，则实数m的取值范围是．

以下命题正确的是．
①若a²+b²=8，则ab的最大值为4；
②若数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ+2n-1，则数列{a_n}的前n项和为2ⁿ⁺¹+n²-2；
③若x∈R，则x+

4

x-2

的最小值为6；
④已知数列{a_n}的递推关系a₁=1，a_n=3a_n-1+2（n≥2，n∈N^*），则通项a_n=2•3ⁿ-1．
⑤已知

1≤x+y≤3 -1≤x-y≤1

则4x+2y的取值范围是[0，12]．

北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试总成绩满分为100分，规定测试成绩在[85，100]之间为体质优秀；在[75，85）之间为体质良好；在[60，75）之间为体质合格；在[0，60）之间为体质不合格．现从某校高三年级的300名学生中随机抽取30名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如图：

9	1	3	5	6
8	0	1	1	2	2	3	3	3	4	4	5	6	6	7	7	9
7	0	5	6	6	7	9
6	4	5	8
5	6

（Ⅰ）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；
（Ⅱ）根据以上30名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中选出3人；
（ⅰ）求在选出的3名学生中至少有1名体质为优秀的概率；
（ⅱ）求选出的3名学生中体质为优秀的人数不少于体质为良好的人数的概率．

已知

1

5

≤k＜1，函数f（x）=|2^x-1|-k的零点分别为x₁，x₂（x₁＜x₂），函数g（x）=|2^x-1|-

k

2k+1

的零点分别为x₃，x₄（x₃＜x₄），则（x₄-x₃）+（x₂-x₁）的最小值为（　　）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

2

AD，E、F分别为PC、BD的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：面PAB⊥平面PDC．

从某校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高，据测量，被抽取的学生的身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图：
（1）求出如图中第七组所代表的矩形的纵坐标；
（2）试估计这所学校高三年级800名学生中身高在180cm以上（含180cm）的人数为多少；
（3）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数？