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若椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），其离心率为

1

2

，且过点（-1，

3

2

）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=-

1

2

x+m与椭圆交于A、B两点，与以F₁F₂为直径的圆交于C、D两点，且满足

|AB|

|CD|

=

5 3

4

，求直线l的方程．

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如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，直线PC与底面ABCD所成的角为45°，E、F分别是BC、PC的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）求二面角E-AF-C的余弦值．

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图2中的实线围成的部分是长方体（图1）的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是

1

4

．
（1）从正方形ABCD的四条边及两条对角线共6条线段中任取2条线段（每条线段被取到的可能性相等），求其中一条线段长度是另一条线段长度的

2

倍的概率；
（2）求此长方体的体积．

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如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=1，CC₁=

2

，E是棱BB₁的中点．
（Ⅰ）求证：CE⊥AC₁；
（Ⅱ）求二面角A-C₁E-C的余弦值．

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如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=

2

a，点E在PD上，且PE：ED=2：1．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角B-PA-D的大小；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．

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如图，已知AB为圆O的直径，AC与圆O相切于点A，CE∥AB交圆O于D、E两点，若AB=6，BE=2，则线段CD的长为

 

．

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