已知数列{a_n}的前n项和是S_n 且S_n=2n²，数列{b_n}的前n项和是T_n且T_n+

1

2

bn=1．n∈N^*
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{b_n}是等比数列；
（3）记c_n=

1

4

an•bn，求数列{c_n}的前n项和M_n．

函数f（x）=a•e^x，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行，求此时平行线的距离．

已知关于x的方程2x²-（2m+1）x+2m=0的两根为sinθ和cosθ（θ∈（0，π）），求：
（1）m的值；
（2）

sinθ

1-cotθ

+

cosθ

1-tanθ

的值；
（3）方程的两根及此时θ的值．

设

a

=（-1，1），

b

=（4，3），

c

=（5，-2）
（Ⅰ）若（

a

+t

b

）∥

c

，求实数t的值；
（Ⅱ）求

c

在

a

方向上的正射影的数量．

已知函数f（x）=ax+xln|x+b|是奇函数，且图象在点（e，f（e））（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
（1）求实数a、b的值；
（2）若k∈Z，且k＜

f(x)

x-1

对任意x＞1恒成立，求k的最大值；
（3）当n＞m＞1（n，m∈Z）时，证明：（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．

已知椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），它的一个顶点为M（0，1），离心率e=

6

3

．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k₁，k₂，且k₁+k₂=3．求证：直线AB过定点，并求出直线AB的斜率k的取值范围．

品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．
现设n=4，分别以a₁，a₂，a₃，a₄表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X=|1-a₁|+|2-a₂|+|3-a₃|+|4-a₄|，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述．
（Ⅰ）写出X的所有可能值组成的集合S；
（Ⅱ）假设a₁，a₂，a₃，a₄等可能地为1，2，3，4的各种排列，求S中每个元素出现的概率．

用数学归纳法证明：1+4+7+…+（3n-2）=

1

2

n（3n-1）．

2000辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示．问：
（Ⅰ）时速在[50，60）的汽车大约有多少辆？
（Ⅱ）如果每个时段取中值来代表这个时段的平均速度，如时速在[50，60）的汽车其速度视为55，请估算出这2000辆汽车的平均速度．

已知AB是单位半圆的直径，动点P从点A出发先过半圆弧，再沿BA回到A点，试把动点P到点A的水平距离S表示为路程x的函数．