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如图，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点P（1，

3

2

），且离心率e=

3

2

，M（m，n）是椭圆C上的动点，直线l的方程为mx+nx=1
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与圆x²+y²=b²相交于A，B两点，求|AB|的最大值；
（3）求出与直线l恒相切的定椭圆C′的方程．探究：若M（m，n）是曲线E：Ax²+By²=1（AB≠0）上的动点，是否仍存在与直线l：mx+ny=1恒相切的定曲线E′？若存在，直接写出定曲线E′的方程；若不存在，说明理由．

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已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点A（1，

2

2

），其焦距为2．

（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则椭圆在其上一点A（x₀，y₀）处的切线方程为

x0x

a2

+

y0y

b2

=1，试运用该性质解决以下问题：
（i）如图（1），点B为C₁在第一象限中的任意一点，过B作C₁的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求△OCD面积的最小值；
（ii）如图（2），过椭圆C₂：

x2

8

+

y2

2

=1上任意一点P作C₁的两条切线PM和PN，切点分别为M，N．当点P在椭圆C₂上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．

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