已知正项数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=

1

2

（a_n+

1

an

）．
（1）写出a₁，a₂，a₃；             
（2）猜想a_n，并给出证明．

已知函数f（x）满足：f²（x）-2f（x）f（x+1）+2f（x+1）=0（x∈R），
（1）用反证法证明：f（x）不可能为正比例函数；
（2）若f（0）=4，求f（1）、f（2）的值，并用数学归纳法证明：对任意的x∈N^*，均有：2＜f（x）＜3．

某研究性学习小组对3月至7月连续100天昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系进行研究，每天浸泡100颗种子的发芽情况统计如下表（1）：

表1
分组（单位：个）	频数	频率
[10，15）	5	0.050
[15，20）	20	0.200
[20，25）	①	0.350
[25，30）	30	②
[30，35）	10	0.100
合计	100	1.00

（Ⅰ）频率分布表中的①，②位置应填什么数据？并补全频率分布直方图，作出频率分布折线图；根据频率分布直方图，估计100天里种子发芽的平均值；（8分）
（Ⅱ）下面是3月1日至5日每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数的详细记录：

表2
日期	3月1日	3月2日	3月3日	3月4日	3月2日
温差（℃）	10	11	13	12	8
发芽数（颗）	23	25	30	26	16

（i）请根据3月2日至3月4日的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
（ii）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（i）中所得的线性回归方程是否可靠？（6分）
（参考公式：

?

b

=

n i=1 xiyi-n . x . y

n i=1 x 2 i -n . x 2

，

a

=

.

y

-

b

.

x

）

已知集合A={x丨0≤x≤2}，B={x丨a≤x≤a+3}．
（1）若（∁_RA）∪B=R，求a的取值范围；
（2）是否存在实数a使（∁_RA）∪B=R且A∩B=∅．

已知x，y，a∈R₊，且x＜y，求证：

x+a

y+a

＞

x

y

．

已知抛物线C：y²=4x，直线l：y=-x+b与抛物线C交于A，B两点．
（Ⅰ）若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程；
（Ⅱ）若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值．

已知集合M={y|y=-4x+6，x∈R}，N={y|y=-x²+1，x∈R}，求M∩N及M∪N．

在平面直角坐标系内有两个定点F₁、F₂和动点P，F₁、F₂坐标分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），动点P满足

|PF1|

|PF2|

=

2

2

，动点P的轨迹为曲线C，曲线C关于直线y=x的对称曲线为曲线C′．
（1）求曲线的C′方程；
（2）若直线y=x+m-3与曲线C′交于A、B两点，D的坐标为（0，-3），△ABD的面积为

7

，求m的值．

数列{a_n}是等差数列，a₁=f（x-1），a₂=3，a₃=f（x+1），其中f（x）=x²-4x+2（x≠0）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）求数列{

an

2n

}的前n项和T_n．

给定椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），称圆C₁：x²+y²=a²+b²为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为

3

2

，且经过点（0，1）．
（1）求实数a，b的值；
（2）若过点P（0，m）（m＞0）的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C₁所截得的弦长为2

2

，求实数m的值．