如图所示，F₁，F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的左、右两个焦点，A，B为两个顶点，已知椭圆C上的点（1，

3

2

）到焦点F₁，F₂两点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）过椭圆C的焦点F₂作AB的平行线交椭圆于P，Q两点，求△F₁PQ的面积．

我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．如图，“盾圆C”是由椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与抛物线y²=4x中两段曲线弧合成，F₁、F₂为椭圆的左、右焦点，F₂（1，0）．A为椭圆与抛物线的一个公共点，|AF₂|=

5

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）求定积分时，可以使用下面的换元法公式：函数y=f（x）中，令x=φ（t），则

∫

b a

f（x）dx=

∫

t2 t1

f[φ（t）]dφ（t）=

∫

t2 t1

f[φ（t）]φ′（t）dt
（其中a=φ（t₁）、b=φ（t₂））．如

∫

1 0

1-x2

dx=

∫

π 2 0

1-sin2t

d（sint）=

∫

π 2 0

cost（sint）′dt=

∫

π 2 0

cos²tdt=

∫

π 2 0

1+cos2t

2

dt．阅读上述文字，求“盾圆C”的面积．
（3）过F₂作一条与x轴不垂直的直线，与“盾圆C”依次交于M、N、G、H四点，P和P′分别为NG、MH的中点，问

|MH|

|NG|

•

|PF2|

|P′F2|

是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

（1）已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，求（∁_RA）∩B；
（2）化解

(log25)2-4log25+4

+log₂

1

5

．

已知A={x|3≤x＜7，x∈N}，B={1，3，5，7}，U={x|0＜x≤7，x∈Z}，
（1）求A∩B；
（2）求A∪B；
（3）求（（∁_UA）∩B）．

设集合A={x|x²+4x=0}，B={x|x²+2（a+1）x+a²-1=0}，若A∪B=A，求a的值组成的集合．

设命题p：函数f（x）=lg（ax²-x+

1

4

a）的定义域为R；命题q：不等式3^x-9^x＜a对一切正实数都成立，如果命题p，q中至少有一个真命题，求实数a的取值范围．

已知圆C的圆心在直线l₁：2x-y+1=0上，与直线3x-4y+9=0相切，且截直线l₂：4x-3y+3=0所得的弦长为2，求圆C的方程．

如图，已知M（m，m²），N（n，n²）是抛物线C：y=x²上两个不同点，且m²+n²=1，m+n≠0．直线l是线段MN的垂直平分线．设椭圆E的方程为

x2

2

+

y2

a

=1（a＞0，a≠2）．
（1）当M，N在抛物线C上移动时，求直线l斜率k的取值范围；
（2）已知直线l与抛物线C交于A，B两个不同点，与椭圆E交于P，Q两个不同点．设AB中点为R，PQ中点为S，若

OR

•

OS

=0，求椭圆E离心率的范围．

解关于x的方程：ax²+2（a+1）x+a+1=0，a∈R．

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别为AB、C₁D₁、DC中点，AB=2，AD=

3

，AC₁=3
（1）求证：C₁E∥平面AFC．
（2）求二面角F-AC-G的正切值．