已知数列{a_n}，{b_n}的首项都为1，且a_n+1=2a_n+1，b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n．
（1）证明：{a_n+1}是等比数列；
（2）设c_n=（-1）ⁿ（2013-

2bn-2

n

）•（a_n+1），是否存在正整数n₀≤2014，使得不等式c₀≤c_n0对任意的n∈N^*且n≤2014恒成立？若存在，求出n₀；若不存在，请说明理由．

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DBA=30°，∠DAB=60°，AD=1，PD⊥底面ABCD． 
（Ⅰ）证明：PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD=AD，求二面角P-AB-D余弦值．

正△ABC的边长为2，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC的中点（如图（1））．现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如图（2）．在图（2）中：
（Ⅰ）求证：AB∥平面DEF
（Ⅱ）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论；
（Ⅲ）求二面角E-DF-C的余弦值．

已知函数f（x）=lnx-x-1，g（x）=

1

2

x²
（1）求函数f（x）的极大值；
（2）定义运算：

.

a b d c

.

=ac-bd，其中a，b，c，d∈R
①若M（x）=

.

k f(x) 1 g(x)

.

，k∈R，讨论函数M（x）的单调性；②设函数F（x）=f（x）+x+1，已知函数H（x）是F（x）的反函数，若关于x的不等式

.

m H(x+1) H(F(x)+1) H(x+1)-1

.

＜1（m∈R）在x∈（0，+∞）上恒成立，求整数m的最大值．

一个袋中装有四个大小形状都相同的小球，它们的编号分别为1，2，3，4．
（1）从袋中随机取两个小球，求取出的两个小球编号之和不大于4的概率；
（2）先从袋中随机取一个小球，该球的编号为x，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个小球，该球的编号为y，求y＜x+2的概率．

若α是第二象限角，sin（π-α）=

10

10

．求

2sin2 α 2 +8sin α 2 cos α 2 +8cos2 α 2 -5

2 sin(α- π 4 )

的值．

已知平面α外一点P，PA⊥α，A为垂足，B，C均在平面α内，∠BAC=120°，PA=AB，求PB与AC所成角的大小．

设函数f₁（x）=

1

12

x4+aex（其中a是非零常数，e是自然对数的底），记f_n（x）=f_n-1′（x）（n≥2，n∈N^*）
（1）求使满足对任意实数x，都有f_n（x）=f_n-1（x）的最小整数n的值（n≥2，n∈N^*）；
（2）设函数g_n（x）=f₄（x）+f₅（x）+…+f_n（x），若对?n≥5，n∈N^*，y=g_n（x）都存在极值点x=t_n，求证：点A_n（t_n，g_n（t_n））（n≥5，n∈N^*）在一定直线上，并求出该直线方程；（注：若函数y=f（x）在x=x₀处取得极值，则称x₀为函数y=f（x）的极值点．）
（3）是否存在正整数k（k≥4）和实数x₀，使f_k（x₀）=f_k-1（x₀）=0且对于?n∈N^*，f_n（x）至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的k和x₀，若不存在，说明理由．

为了迎接2014年3月30日在郑州举行的“中国郑开国际马拉松赛”，举办单位在活动推介晚会上进行嘉宾现场抽奖活动，抽奖盒中装有6个大小相同的小球，分别印有“郑开马拉松”和“美丽绿城行”两种标志，摇匀后，参加者每次从盒中同时抽取两个小球（取出后不再放回），若抽到的两个球都印有“郑开马拉松”标志即可获奖．并停止取球；否则继续抽取，第一次取球就抽中或一等奖，第二次取球抽中获二等奖，第三次取球抽中获三等奖，没有抽中不获奖．活动开始后，一位参加者问：“盒中有几个印有‘郑开马拉松’的小球？”主持人说：“我只知道第一次从盒中同时抽两球，不都是‘美丽绿城行’标志的概率是

4

5

．”
（Ⅰ）求盒中印有“郑开马拉松”小球的个数；
（Ⅱ）若用η表示这位参加者抽取的次数，求η的分布列及期望．

下列函数中，正整数指数函数的个数为（　　）
①y=1^x；
②y=-4^x；
③y=（-8）^x．