已知函数f（x）=

1

2

x²-（a+2）x+2alnx（0＜a＜1）
（1）当a=

1

2

时，求函数f（x）的单调区间；
（2）判断方程f（x）+a+

3

2

=0根的个数并说明理由．（参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099）

如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知底面是边长为2的正方形，高为1，点E在B₁B上，且满足B₁E=2EB．
（1）求证：D₁E⊥A₁C₁；
（2）在棱B₁C₁上确定一点F，使A、E、F、D₁四点共面，并求此时B₁F的长；
（3）求几何体ABED₁D的体积．

某次飞镖比赛中，规定每人最多发射3镖．在M处每射中一镖得3分，在N处每射中一镖得2分，如果前两次得分之和超过3分即停止发射，否则发射第三镖．某选手在M处的命中率q₁为0.25，在N处的命中率为q₂，该选手选择先在M处发射第一镖，以后都在N处发射．用X表示该选手比赛结束后所得的总分，其分布列为：

X	0	2	3	4	5
P	0.03	P1	P2	P3	P4

（Ⅰ）求随机变量X的数学期望E（X）；
（Ⅱ）试比较该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分与选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率的大小．

编写程序框图计算：1²-2²+3²-4²+…+99²-100²．

已知函数f（x）=

1

2

+lnx，g（x）=

1

2

x²，
（Ⅰ）若直线l与f（x）以及g（x）的图象相切于同一点，求l的方程；
（Ⅱ）若对任意x₁＞x₂＞0，不等式i[g（x₁）-g（x₂）]＞x₁f（x₁）-x₂f（x₂）恒成立，求i的取值范围．

已知函数f（x）=sin（π-x）-cosx（x∈R）．
（1）求f（0）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及最大、小值；
（3）若f（α）=

2

2

，α∈（0，

π

2

），求sinα+cosα的值．

已知椭圆M的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其短轴长为2，离心率为

3

2

．点P（x₀，y₀）为椭圆M内一定点（不在坐标轴上），过点P的两直线分别与椭圆交于点A，C和B，D，且AB∥CD．
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）证明：直线AB的斜率为定值．

已知定点A（m，0），圆x²+y²=1上有一动点Q，若AQ的中点为P．
（1）求动点P的轨迹方程C；
（2）若过原点且倾斜角为60°的直线与曲线C交于M，N两点，是否存在以MN为直径的圆经过点A？若存在，求出A；若不存在，说明理由．

如图所示，三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是BC的中点，D₁是B₁C₁的中点．
求证：（1）A₁B∥平面AC₁D；
（2）平面A₁BD₁∥平面AC₁D．

每年春季在郑州举行的“中国郑开国际马拉松赛”活动，已成为最有影响力的全民健身活动之一，每年的参与人数不断增多，然后也有部分人对该活动的实际效果提出了疑问，对此，某新闻媒体进行了网上调查，在所有参与调查的人中，持“支持”、“保留意见”和“不支持”态度的人数如下表所示：

	支持	保留意见	不支持
男	800	450	200
女	100	150	300

（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从持“支持”态度的人中抽取了45人，求n的值；
（Ⅱ）接受调查的人同时要对这项活动进行打分，其中6人打出的分数如下：9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这6个人打出的分数看作一个总体，从中任取2个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率．