已知函数f（x）=alnx-

1

x

（a∈R）
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=-

1

2

x垂直，求切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）当a=1，且x≥2时，证明f（x-1）≤2x-5．

已知f（x+

1

x

）=x²+

1

x2

，求f（x）的解析式．

某青少年研究中心为了统计某市青少年（18岁以下）2014年春节所收压岁钱的情况进而研究青少年的消费去向，随机抽查了该市60名青少年所收压岁钱的情况，得到如下数据统计表：

压岁钱（单位：千元）	频数	频率
（0，0.5]	3	0.05
（0.5，1]	x	p
（1，1.5]	9	0.15
（1.5，2]	15	0.25
（2，2.5]	18	0.30
（2.5，3]	y	q
合计	60	1.00

已知“超过2千元的青少年”与“不超过2千元的青少年”人数比恰好为2：3．
（Ⅰ）试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图（如图）．
（Ⅱ）该机构为了进一步了解这60名青少年压岁钱的消费去向，从“超过2千元的青少年”、“不超过2千元的青少年”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查．设为选取的3人中“超过2千元的青少年”的人数，求的分布列和数学期望．
（Ⅲ）若以频率估计概率，从该市青少年中随机抽取15人进行座谈，若15人中“超过2千元的青少年”的人数为η，求η的期望．

已知△ABC的两顶点B（1，0）和C（-1，0），两边AB、AC所在直线的斜率之积是-2．
（1）求顶点A的轨迹Q；
（2）若不经过点B、C的直线l与轨迹Q只有一个公共点，且公共点在第一象限，试求直线l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值，并求此时直线l的方程．

设圆C₁：x²+y²=5与抛物线C₂：x²=2py（p＞0）在第一象限内的交点为R（2，m）．
（Ⅰ）求m的值及抛物线C₂的方程；
（Ⅱ）若P在抛物线C₂在两点O，R之间的部分运动，其中O为坐标原点，直线l过点P且与抛物线C₂只有一个公共点，l与圆C₁相交于两点A，B，求△OAB的面积的取值范围．

如图：内接于⊙O的△ABC的两条高线AD、BE相交于点H，过圆心O作OF⊥BC于 F，连接AF交OH于点G，并延长CO交圆于点I．
（1）若

OF

=λ

AH

，试求λ的值；
（2）若

CH

=x

OA

+y

OB

，试求x+y的值；
（3）若O为原点，点B的坐标为（-4，-3），点C的坐标为C（4，-3），试求点G的轨迹方程．

已知椭圆C的中心在原点O，其右焦点为F（1，0），长轴长为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）斜率为1的直线l经过点F，交椭圆C于M，N两点，P为椭圆位于第四象限上一点，且OP⊥MN，求四边形OMPN的面积．

已知函数f（x）=2|x+1|-x．
（Ⅰ）根据绝对值和分段函数知识，将f（x）写成分段函数；
（Ⅱ）在如图的直角坐标系中画出函数f（x）的图象：
（Ⅲ）根据图象，写出函数f（x）的单调区间、值域．（不要求证明）

已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，其右焦点到直线x-y+2

2

=0的距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证椭圆与直线y=x-2相切．

如图，已知平行四边形ABCD中，AD=2，CD=

2

，∠ABC=45°，AE⊥BC，垂足为E，沿直线AE将△BAE翻拆成△B₁AE，使得平面B₁AE⊥平面AECD，连接B₁D，P是线段B₁D上的点，且满足

B1P

=λ

B1D

．
（Ⅰ）λ=

1

2

时，求证CP⊥平面AB₁D；
（Ⅱ）若平面AB₁E与平面PAC所成的二面角的余弦值为

11

11

，求AP与平面AB₁E所成角的余弦值．