已知中心在原点O，左焦点为F₁（-1，0）的椭圆C₁的左顶点为A，上顶点为B，F₁到直线AB的距离为

7

7

|OB|．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）若椭圆C₁方程为：

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞n＞0），椭圆C₂方程为：

x2

m2

+

y2

n2

=λ（λ＞0，且λ≠1），则称椭圆C₂是椭圆C₁的λ倍相似椭圆．已知C₂是椭圆C₁的3倍相似椭圆，若直线y=kx+b与两椭圆C₁、C₂交于四点（依次为P、Q、R、S），且

PS

+

RS

=2

QS

，试求动点E（k，b）的轨迹方程．

已知函数f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）
（Ⅰ）当a=1时，证明函数f（x）为奇函数；
（Ⅱ）判断函f（x）的单调性，并说明理由：
（Ⅲ）若函数f（x）在区间[-1，3]上的最小值为2，求实数a的值．

如图，已知椭圆C：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的上顶点为A，离心率为

6

3

，若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且

AP

•

AQ

=0．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线AP的斜率为1，求直线PQ的方程；
（3）求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标．

已知圆C：x²+y²=3的半径等于椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短半轴长，椭圆E的右焦点F在圆C内，且到直线l：y=x-

6

的距离为

3

-

2

2

，点M是直线l与圆C的公共点，设直线l交椭圆E于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求证：|AF|-|BF|=|BM|-|AM|．

若a＞b＞0，m＞0，求证：

a+m

b+m

＞

a

b

．

为了让学生了解更多“奥运会”知识，某中学举行了一次“奥运知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表，解答下列问题：

分组	频数	频率
60.5～70.5		0.16
70.5～80.5	10
80.5～90.5	18	0.36
90.5～100.5
合计

（1）若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000，001，002，…，799，试写出第二组第一位学生的编号；
（2）填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内），并作出频率分布直方图；
（3）若成绩在85.5～95.5分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？

2014年巴西世界杯的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣．甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x，y的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：

编号	1	2	3	4	5
x	169	178	166	175	180
y	75	80	77	70	81

（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175，且y≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=CD，AB=4，BC=3，E是PD的中点．
（1）证明：PB∥平面ACE
（2）求二面角E-AC-B的平面角的余弦值．

已知正方形ABCD的边长为1，若点E是AB边上的动点，则

DE

•

DC

的最大值为．

已知等差数列{a_n}，公差d＞0，前n项和为S_n，S₃=12，且满足a₃-a₁，a₄，a₈成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足2a_n+1-a_n=2ⁿb_nS_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．