已知函数f（x）=

( 1 2 )x，x≤0 2f(x-1)，x＞0

，若函数f（x）=3x+a有且只有一个解，求a的取值范围？

已知函数f（x）=alnx+x²（a为实常数）．
（1）若a=-2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（2）当a≥-2时，求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；
（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=x-

a

x

（a∈R），求证：在[

|a|

，+∞）上方程f（x）=2013至多有一个根．

已知2013年2月10日春节．某蔬菜基地2013年2月2日有一批黄瓜进入市场销售，通过市场调查，预测黄瓜的价格f（x）（单位：元/kg）与时间x（x表示距2月10日的天数，单位：天，x∈（0，8]）的数据如下

时间x	8	6	2
价格f（x）	8	4	20

（Ⅰ）根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述黄瓜价格f（x）与上市时间x的变化关系：f（x）=ax+b，f（x）=ax²+bx+c，f（x）=a•b^x，f（x）=a•log_bx，其中a≠0；并求出此函数；
（Ⅱ）为了控制黄瓜的价格，不使黄瓜的价格过于偏高，经过市场调研，引入一控制函数h（x）=e^x-（12-2m）x+39（x＞0），m称为控制系数．求证：当m＞ln2-1时，总有f（x）＜h（x）．

若函数y=x+

a

x

，a∈R且在[2，+∞）上为增函数，求a的取值范围．

为了调查甲、乙两种品牌商品的市场认可度，在某购物网点随机选取了14天，统计在某确定时间段的销量，得如图所示的统计图，根据统计图求：
（1）甲、乙两种品牌商品销量的中位数分别是多少？
（2）甲品牌商品销量在[20，50]间的频率是多少？
（3）甲、乙两个品牌商品哪个更受欢迎？并说明理由．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其长轴长是短轴长的两倍，以某短轴顶点和长轴顶点为端点的线段作为直径的圆的周长为

5

π．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l与椭圆相交于A，B两点，设直线OA，l，OB的斜率分别为k₁，k，k₂（其中k＞0）．△OAB的面积为S，以OA，OB为直径的圆的面积分别为S₁，S₂，若k₁，k，k₂恰好构成等比数列，求

S1+S2

S

的取值范围．

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象通过原点，对称轴为x=-2n，（n∈N^*）．f′（x）是f（x）的导函数，且f′（0）=2n，（n∈N^*）．
（1）求f（x）的表达式（含有字母n）；
（2）若数列{a_n}满足a_n+1=f′（a_n），且a₁=4，求数列{a_n}的通项公式；
（3）在（2）条件下，若b_n=n•2 

an+1-an

2

，S_n=b₁+b₂+…+b_n，是否存在自然数M，使得当n＞M时n•2ⁿ⁺¹-S_n＞50恒成立？若存在，求出最小的M；若不存在，说明理由．

已知O，A，B三点不共线，且

OP

=m

OA

+n

OB

，（m，n∈R）．
（1）若m+n=1，求证：A，P，B三点共线；
（2）若A，P，B三点共线，求证：m+n=1．

已知椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，F为椭圆在x轴正半轴上的焦点，M、N两点在椭圆C上，且

MF

=λ

FN

（λ＞0），定点A（-4，0）．
（Ⅰ）求证：当λ=1时

MN

⊥

AF

；
（Ⅱ）若当λ=1时有

AM

•

AN

=

106

3

，求椭圆C的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的椭圆中，当M、N两点在椭圆C上运动时，试判断

AM

•

AN

×tan∠MAN是否有最大值，若存在，求出最大值，并求出这时M、N两点所在直线方程，若不存在，给出理由．