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如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O，AC∩BD=H．沿EF将△CEF折起到△PEF的位置，使得平面PEF⊥平面ABFED．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面POA；
（Ⅱ）当PB取得最小值时，请解答以下问题：（提示：设OH=x）
（ⅰ）求四棱锥P-BDEF的体积；
（ⅱ）若点Q在线段AP上，试探究：直线OQ与平面E所成角是否一定大于或等于45°？并说明你的理由．

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如图，设双曲线C₁：

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）的上焦点为F，上顶点为A，点B为双曲线虚轴的左端点，已知C_l的离心率为

2 3

3

，且△ABF的面积S=1-

3

2

．
（Ⅰ）求双曲线C_l的方程；
（Ⅱ）设抛物线C₂的顶点在坐标原点，焦点为F，动直线l与C₂相切于点P，与C₂的准线相交于点Q试推断以线段PQ为直径的圆是否恒经过y轴上的某个定点M？若是，求出定点M的坐标；若不是，请说明理由．

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在椭圆中，称过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆所截得的弦为椭圆的“通径”．已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，其离心率为

1

2

，通径长为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图所示，过点F₁的直线与椭圆交于A、B两点，I₁、I₂分别为△F₁BF₂、△F₁AF₂的内心，延长BF₂与椭圆交于点M，求四边形F₁I₂F₂I₁的面积与△AF₂B的面积的比值；
（3）在x轴上是否存在定点P，使得

PM

•

PB

为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．