已知数列{a_n}为递增等差数列，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根．数列{b_n}为等比数列，且b₁=a₂，b₄=a₅²．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

等差数列{a_n}中，a₃+a₄=9，a₂a₅=18，则a₁a₆=．

已知抛物线C₁：x²=2py（p＞0）与椭圆C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）在第一象限的公共点为A（2

2

，1），设抛物线C₁的焦点为F，椭圆C₂的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），△F₁F₂F的面积为6．
（Ⅰ）求抛物线C₁和椭圆C₂的方程；
（Ⅱ）设A₁，A₂为椭圆C₂的左、右顶点，P为椭圆C₂上异于A₁，A₂的任意一点，直线l：x=

a2

c

，l与直线A₁P，A₂P分别交于点M，N，试探究：在x轴上是否存在定点D，使得以线段MN为直径的圆恒过点D，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）推广（Ⅱ），得椭圆的一般性的正确命题，据此类比，得到双曲线的一般性正确命题，请直接写出这个双曲线的正确命题（不必证明）．

如图，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，∠BAC=90°，AB=AC=

2

，AA′=1，点M、N分别为A′B，B′C′的中点
（1）证明：平面AA′B′B⊥平面AA′C′C；
（2）求直线MN与平面AA′B′B所成角的正切值；
（3）求三棱锥A′-MNC的体积．

已知定义域为R的函数f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函数．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）求函数g（x）=（log_ax）²-log_ax²-2b在x∈[

1

2

，4]上的值域．

已知抛物线y²=2px（p＞0），直线过点A（-2，-4），且倾斜角为45°．
（Ⅰ）若直线与抛物线交于M，N两点，且有|MN|²=|AM|•|AN|，求抛物线的方程；
（Ⅱ）是否存在实数p，使得抛物线上存在关于直线对称的不同的两点，若存在，求出p的取值范围，若不存在，请说明理由．

已知函数f（x）=mx+lnx，其中m为常数，e为自然对数的底数．
（1）当m=-1时，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为-3，求m的值．

已知幂函数f（x）=（m-1）²x m2-4m+2在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2^x-k．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，求实数k的取值范围．

（1）求经过点P（-3，-4），且在x轴、y轴上的截距相等的直线l的方程；
（2）已知|

a

|=4，|

b

|=3，（2

a

-3

b

）•（2

a

+

b

）=61，求

a

•

b

及|

a

+3

b

|的值．

设F₁、F₂分别是椭圆D：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F₂作倾斜角为

π

3

的直线交椭圆D于A、B两点，F₁到直线AB的距离为3，△ABF₁的周长为8．
（1）求椭圆D的方程；
（2）已知点M（-1，0），设E是椭圆D上的一点，过E、M两点的直线l交y轴于点C，若

CE

=2

EM

，求点C的坐标．