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已知OPQ是半径为1，圆心角为

π

4

的扇形，C是扇形弧上的动点．ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP=θ．
（1）求当角θ取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大值．
（2）当矩形ABCD的面积为

6 -2

4

时，求角θ的值．

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已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．点M是棱C₁B₁上的动点．
（1）当AC₁∥平面BMN时，确定点M点在棱C₁B₁上的位置；
（2）在（1）的条件下，求二面角B₁-BM-N的平面角的正切值．

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如图在边长为a的正方形ABCD中，E、F分别为边BC、CD中点，设

AB

=

α

，

AD

=

β

．
（1）试用

α

、

β

表示向量

AE

、

AF

；
（2）求向量

AE

、

AF

夹角的余弦值大小．

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如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=2AF，BE与平面ABCD所成角的正切值为

2

2

（1）求证：AC∥平面EFB
（2）求三棱锥C-BEF的体积．

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E是长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长CC₁所在直线上一点，C₁E=CC₁=BC=

1

2

AB=1．
（1）求异面直线D₁E与B₁C所成角的余弦值；
（2）求点A到直线B₁E的距离；
（3）求直线AC与平面D₁EB₁所成的角；
（4）求两平面B₁D₁E与ACB₁所形成的锐二面角的余弦值；
（5）求点A到平面D₁EB₁的距离．

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某次游园的一项活动中，设置了两个中奖方案：
方案1：在如图所示的游戏盘内转动一个小球，如果小球静止时停在正方形区域内则中奖；
方案2：从一个装有2个红球和3个白球的袋中无放回地取出2个球，当两个球同色时则中奖．
两个方案中，哪个方案中奖率更高？请说明理由．