求证：

1+sin4θ-cos4θ

2tanθ

=

1+sin4θ+cos4θ

1-tan2θ

．

在数列{a_n}中，a₁=

1

5

，a_n+a_n+1=

6

5n+1

（n∈N₊）
（1）证明：{5ⁿa_n-1}是常数列；
（2）设x_n=（2n-1）•10ⁿa_n，求{x_n}的前n项和T_n．

求函数y=2cos²x-

1

2

的图象与x轴及直线x=0、x=π所围成的图形的面积．

数列{a_n}的前n项和记为Sn，已知a₁=1，Sn=

n

n+2

an+1，（n=1，2，3，…）
（Ⅰ）求数列{S_n}的通项公式；
（Ⅱ）设T_n=S₁+S₂+S₃+…+S_n，求T_n．

已知四边形ABCD是矩形，AB=

2

，BC=

6

，将△ABC沿着对角线AC折起来得到△AB₁C，且顶点B₁在平面AB=CD上射影O恰落在边AD上，如图所示．
（1）求证：AB₁⊥平面B₁CD；
（2）求三棱锥B₁-ABC的体积V_B1-ABC．

已知数列{a_n}满足a1=

5

2

，且an=

4an-1-1

an-1+2

（n∈N^*，且n≥2）
（Ⅰ）设bn=

1

an-1

，求证：{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）设cn=(n+1)•3n•an，求{c_n}的前n项和S_n．

如图，独秀峰是川东著名风景区万源八台山的一个精致景点．它峰座凸兀，三面以沟壑与陡峭山壁阻隔．峰体雄伟挺拔险峻，北、西、南三面环山，东面空旷．峰顶一千年松傲雪挺立．为了测这千年松树高，我们选择与峰底E同一水平线的A、B为观测点，现测得AB=20米，点A对主梢C和主干底部D的仰角分别是40°、30°，点B对D的仰角是45°．求这棵千年松树高多少米（即求CD的长，结果保留整数．参考数据：sin10°=0.17，sin50°=0.8，

6

=2.4，

2

=1.4）

去年2月29日，我国发布了新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在0-50为优秀，各类人群可正常活动．惠州市环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为（5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．
（1）求a的值；
（2）根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；（注：设样本数据第i组的频率为p_i，第i组区间的中点值为x_i（i=1，2，3，…，n），则样本数据的平均值为

.

X

=x₁p₁+x₂p₂+x₃p₃+…+x_np_n）
（3）如果空气质量指数不超过15，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取3天的数值，其中达到“特优等级”的天数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

如图P是△ABC所在平面外一点，PA=PB，CB⊥平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，AN=3NB．求证：MN⊥AB．

设f（x）=x³-x²-x+a，a∈R，求函数y=f（x）的单调区间．