设矩阵A=

1 a 0 1

（a≠0）．
（1）求A²，A³，并猜想Aⁿ（n∈N^*）；
（2）利用（1）所猜想的结论，求证：Aⁿ的特征值是与n无关的常数，并求出此常数．

四棱锥S-ABCD的底面是菱形，SD⊥平面ABCD，点E是SD的中点．
（Ⅰ）求证：SB∥平面EAC；
（Ⅱ）求证：平面SAC⊥平面SBD．

在平面直角坐标系xOy中，线性变换σ将点（1，0）变换为（1，0），将点（0，1）变换为（1，2）．
（Ⅰ）试写出线性变换σ对应的二阶矩阵A；
（Ⅱ）求矩阵A的特征值及属于相应特征值的一个特征向量．

已知公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₃=a₄+4，且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{

1

Sn

}的前n项和公式．

已知数列{a_n}满足：a₁=2t-3（t∈R且t≠±1），a_n+1=

2(tn+1-1)(an+1)

an+2tn-1

（n∈N^*）
（Ⅰ）证明数列{

tn-1

an+1

}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=n²（a_n+1），求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）若t＞0，证明数列{a_n}为单调递增数列．

已知等差数列{a_n}的公差d不为零，S_n为其前n项和，S₆=5S₃
（Ⅰ）求证：a₂，a₃，a₅成等比数列；
（Ⅱ）若a₂=2，且a₂，a₃，a₅为等比数列{b_n}的前三项，求数列|

Sn+1

bn

|的最大项的值．

对于函数f（x），x∈D，若存在x₁、x₂∈D，对任意的x∈D，都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），则称f（x）为“幅度函数”，其中f（x₂）-f（x₁）称为f（x）在D上的“幅度”．
（1）判断函数f（x）=

3-2x-x2

是否为“幅度函数”，如果是，写出其“幅度”；
（2）已知x（y-1）-2^n-1y+2ⁿ=0（x∈Z，n为正整数），记y关于x的函数的“幅度”为b_n，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）在（2）的条件下，令g（n）=lg

2

bn+1

+lg

2

bn+2

+…+lg

2

b2n

，求g（n）的表达式．

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=60°，AD=2，AC=2

3

，E是PC的中点．
（Ⅰ）求证：PC⊥BD；
（Ⅱ）若四棱锥P-ABCD的体积为4，求DE与平面PAC所成的角的大小．

已知函数f（x）=x³+ax+b，a，b∈R的图象记为曲线E，过一点A（

1

2

，-

3

8

）作曲线E的切线，这样的切线有且仅有两条．
（Ⅰ）求a+2b的值；
（Ⅱ）若点A在曲线E上，对任意的x∈[0，1]，求证：f（x）+|a+3b+1|+

1

2

≥0．

为了保护生态和环境，某市不再完全以GDP考核辖区内各县政府的政绩，广大群众的幸福指数成为考核县政府政绩的又一个重要指标，从而成立了市政府幸福办公室，其主要工作是随机抽查群众的幸福指数，为市政府提供最基础的原始数据．该办公室某工作人员在一次随机抽查了10名A县群众后，绘制了如图的茎叶图．
（1）求这10名群众幸福指数的中位数及平均数；（茎表示十位数字，叶表示个位数字）
（2）市领导在该10名群众幸福指数中随机选取了3个指数，若至少有2个指数在80或80以上的概率不小于

1

2

，则A县政府受到表扬，问A县政府是否受到表扬？
（3）若某人幸福指数在[60，70）内，则称该人为“勉强幸福人”，在该10名群众中随机抽一名，其为“勉强幸福人”人的概率作为A县每位群众为“勉强幸福人”人的概率；现随机抽取3名A县群众（群众人数很多），记其中“勉强幸福人”人的个数为ξ，求ξ的分布列与期望．