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如图，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，AB=2，C是⊙O上一点，且AC=BC，PC与⊙O所在的平面成45°角，E是PC中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥PB；
（Ⅱ）求PB与面PAC所成角的正切值；
（Ⅲ）求异面直线PB与AC所成角的余弦值．

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在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=BC=2，∠ABC=90°，点A₁在底面ABC的投影为B，且A₁B=2

3

．
（1）证明：平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C；
（2）设P为B₁C₁上一点，当PA=

29

时，求二面角A₁-AB-P的正弦值．

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如图，已知ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱CC₁的中点，E为底面一边A₁B₁的中点．
（Ⅰ）求证：AB⊥DF；
（Ⅱ）求三棱锥A₁-ABD的体积，并求直线A₁B₁到与它平行的平面DAB的距离．

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已知函数f（x）=

a

x

+lnx（a∈R）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）当a=2时，求证：ln（n+1）+2

n

i+1

i

i+1

＞nln（2e）（n∈N^*）．

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如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=

1

2

AD=1，CD=

3

．
（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）设PM=2MC，求二面角M-BQ-C的余弦．