科目： 来源：安徽省模拟题 题型：解答题

顶点在坐标原点，开口向上的抛物线经过A₀（1，1），过A₀作抛物  线的切线交x轴于B₁，过B₁点作x轴的垂线交抛物线于A₁，过A₁作抛物线的切线交x轴于B₂，…，过A_n（x_n，y_n）作抛物线的切线交x轴于B _n+1（x _n+1，0）
（1）求{x_n}，{y_n}的通项公式；
（2）设a_n=+，数列{a_n}的前n项和为T_n．求证：T_n＞2n﹣．
（3）设b_n=1﹣log₂y_n，若对任意正整数n，不等式（1+）（1+）…（1+）≥a成立，求正数a的取值范围．

科目： 来源：四川省模拟题 题型：解答题

已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）．
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜0在区间上恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）比较的大小（n∈N*且n≥2，e是自然对数的底数）．

科目： 来源：高考真题 题型：解答题

设数列的前n项和为S_n，满足，且、、成等差数列。
（Ⅰ）求a₁的值；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）证明：对一切正整数n，有。

科目： 来源：高考真题 题型：解答题

数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n+1=a2S_n+a₁，其中a₂≠0。
（I）求证：{a_n}是首项为1的等比数列；
（II）若a₂＞-1，求证：并给出等号成立的充要条件。

科目： 来源：月考题 题型：解答题

已知曲线C：y=4^x，C_n：y=4^x+n（n∈N+），从C上的点Q_n（x_n，y_n）作x轴的垂线，交C_n于点P_n，再从点P_n作y轴的垂线，交C于点Q_n+1（x_n+1，y_n+1），设x₁=1，a_n=x_n+1﹣x_n，．
（1）求数列{x_n}的通项公式；
（2）记，数列{c_n}的前n项和为T_n，
求证：；
（3）若已知，记数列{a_n}的前n项和为A_n，数列{d_n}的前n项和为B_n，试比较A_n与的大小．

科目： 来源：高考真题 题型：解答题

已知函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0。
（1）求a的值；
（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx²成立，求实数k的最小值；
（3）证明：（n∈N*）。

科目： 来源：安徽省月考题 题型：解答题

已知曲线C：xy=1，过C上一点A_n（x_n，y_n）作一斜率为的直线交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1），点列A_n（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{x_n}，其中．
（1）求x_n与x_n+1的关系式；
（2）求证：{}是等比数列；
（3）求证：（﹣1）+（﹣1）²x₂+（﹣1）³x₃+…+（﹣1）ⁿx_n＜1（n∈N，n≥1）．

科目： 来源：山东省期末题 题型：解答题

已知函数f（x）=kx，
（1）求函数的单调递增区间
（2）若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；
（3）求证：．

科目： 来源：辽宁省期中题 题型：解答题

已知f（x）=-，数列{a_n}的前n项和为S_n，点P_n（a_n，-）在曲线y=f（x）上（n∈N*）且a₁=1，a_n>0。  
（1）求数列{a_n}的通项公式；      
（2）数列{b_n}的前n项和为T_n且满足，设定b₁的值使得数列{b_n}是等差数列；      
（3）求证：.

科目： 来源：辽宁省期中题 题型：解答题

已知函数，
（Ⅰ）若函数在时取极值，求的单调递减区间.
（Ⅱ）证明：对任意的，都有.
（Ⅲ）若，，，求证：.