已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的离心率为

2 5

5

，F₁、F₂是椭圆的左、右两个焦点，B是上顶点，且

BF1

•

BF2

=-3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为1且与圆O：x²+y²=

1

2

有公共点的直线l与椭圆交于点A、B，求|AB|的范围．

某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本．经统计，得到下列关于产品重量的样本频数分布表：

甲流水线 产品重量（单位：克）	频数
（490，495]	2
（495，500]	12
（500，505]	18
（505，510]	6
（510，515]	2

乙流水线 产品重量（单位：克）	频数
（490，495]	6
（495，500]	8
（500，505]	14
（505，510]	8
（510，515]	4

已知产品的重量合格标准为：重量值（单位：克）落在（495，510]内的产品为合格品；否则为不合格品．
（Ⅰ）从甲流水线样本的合格品中任意取2件，求重量值落在（505，510]的产品件数X的分布列；
（Ⅱ）从乙流水线中任取2件产品，试根据样本估计总体的思想，求其中合格品的件数Y的数学期望；
（Ⅲ）从甲、乙流水线中各取2件产品，用ξ表示“甲流水线合格品数与乙流水线合格品数的差的绝对值”，并用A表示事件“关于x的一元二次方程2x²+2ξx+ξ=0没有实数解”． 试根据样本估计总体的思想，求事件A的概率．

已知直线L：

x=2+tcosα y=1+ysinα

（t为参数，α为直线的倾斜角）交椭圆

x2

16

+

y2

4

=1于A、B两点，若点M（2，1）恰好为线段AB的中点，求直线L的斜率．

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=n²+λn，当n∈N^*，a_n≤a_n+1，求λ的最小值．

四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AB=AD=

1

2

CD，AB∥CD，∠ADC=90°．
（1）在侧棱PC上是否存在一点Q，使BQ∥面PAD？说明理由．
（2）设M为PC中点，PA=1，求P-ABM体积．

已知△ABC的内角A、B、C所对的边且a、b、c，且满足bcosC=（3a-c）cosB，若

BC

•

BA

=4，b=4

2

，求边a、c的值．

已知

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ）且α-β∈（-

π

2

，0），
（Ⅰ）若

a

•

b

=

3

2

，求α-β的值；
（Ⅱ）若|

a

-

b

|=

10

5

且α=

π

3

，求sinβ的值．

已知等差数列{a_n}的前10项和S₁₀=-40，前9项和S₉=-27．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n+2ⁿ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，|

OM

|=

5

，

ON

=

2 5

5

OM

．过点M作MM₁⊥y轴于M₁，过N作NN₁⊥x轴于点N₁，

OT

=

M1M

+

N1N

．记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、B（1，0），过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）．
（1）求曲线C的方程；
（2）证明不存在直线l，使得|BP|=|BQ|；
（3）过点P作y轴的平行线与曲线C的另一交点为S，若

AP

=t

AQ

，证明

SB

=t

BQ

．

曲线C上的点M（x，y）到定点F（1，0）的距离和它到定直线l：x=5的距离的比是常数

5

5

．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过F且斜率为1的直线与曲线C相交于A、B两点．求：
    ①线段AB的中点坐标；     
    ②△OAB的面积．