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已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是边长为2的菱形，AC∩BD=O，AA₁=2

3

，BD⊥A₁A，∠BAD=∠A₁AC=60°，点M是棱AA₁的中点．
（Ⅰ）求证：A₁C∥平面BMD；
（Ⅱ）求证：A₁O⊥平面ABCD；
（Ⅲ）求直线BM与平面BC₁D所成角的正弦值．

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如图，平面四边形ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB为球O的直径，P为球面上一点，且PO⊥平面ABCD，NC=CD=DA=2，点M为PA的中点．
（1）证明：平面PBC∥平面ODM；
（2）求平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值．

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如图，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=∠CDA=90°，AB=AD=DE=

1

2

CD，M是线段AE上的动点．
（Ⅰ）试确定点M的位置，使AC∥平面DMF，并说明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求平面DMF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

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如图所示，空间中有一直角三角形POA，∠O为直角，OA=4，PO=3，现以其中一直角边PO为轴，按逆时针方向旋转60°后，将A点所在的位置记为B，再按逆时针方向继续旋转120°后，A点所在的位置记为C．
（Ⅰ）连结BC，取BC的中点为D，求证：面PDO⊥面PBC；
（Ⅱ）求PA与平面PBC所成的角的正弦值．

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如图，在Rt△ABC中，∠BAC、∠ABC、∠ACB成等差数列，且AB=4，D点是斜边BC上一动点，连接AD，以AD为折痕，将△ABD折到与△ADC的同一个平面内，B变为B₁，设∠BAD=θ．
（1）求BD的长；
（2）求B₁C的最小值．

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