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如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2BC=2BB₁，沿平面C₁BD把这个长方体截成两个几何体：
（Ⅰ）设几何体（1）、几何体（2）的体积分为是V₁、V₂，求V₁与V₂的比值；
（Ⅱ）在几何体（2）中，求二面角P-QR-C的正切值．

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如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为菱形，四边形AA₁C₁C也为菱形且∠A₁AC=∠DAB=60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：BD⊥AA₁；
（Ⅱ）证明：平面AB₁C∥平面DA₁C₁；
（Ⅲ）在棱CC₁上是否存在点P，使得平面PDA₁和平面DA₁C₁所成锐二面角的余弦值为

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？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

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如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求直线DH与平面BDEF所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角H-BD-C的大小．

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已知ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=2，AD=1．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．

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如图：三棱柱A₁B₁C₁-ABC，A₁A⊥AC，A₁A⊥AB，AB=AC=1，A₁B=2，E是A₁B的中点．
（Ⅰ）若BC=

2

，求证：平面ACE⊥平面A₁AB；
（Ⅱ）若∠CAB=120°，求二面角A₁-AE-C的余弦值．

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已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．

（1）证明：面BCN⊥面C₁NB₁
（2）求平面CNB₁与平面C₁NB₁所成角的余弦值．

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在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=1，AA₁=AB=2．点E是线段AB上的动点，点M为D₁C的中点．
（1）当E点是AB中点时，求证：直线ME∥平面ADD₁A₁；
（2）若二面角A-D₁E-C的余弦值为

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．求线段AE的长．

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