已知函数（e为自然对数的底数）.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）定义：函数的定义域为，若，使成立，则称为的不动点.

当时，

（ⅰ）证明：函数存在唯一的不动点，且；

（ⅱ）已知数列满足，

求证：，（其中为的不动点）.

如图，抛物线E:的焦点为，其准线与轴交于点，过抛物线E上的动点作于点.当时， .

（Ⅰ）求抛物线E的方程；

（Ⅱ）过点作直线，求直线与抛物线E的交点个数；

（Ⅲ）点C是的外心，是否存在点，使得的面积最小.若存在，请求出面积的最小值及P的坐标；若不存在，请说明理由.

某茶厂现有三块茶园，每块茶园的茶叶估值为6万元.根据以往经验：今年5月12日至14日是采茶的最佳时间，在此期间，若遇到下雨，当天茶园的茶叶估值减少为前一天的一半.现有两种采摘方案：

方案①：茶厂不额外聘请工人，一天采摘一块茶园的茶叶；

方案②：茶厂额外聘请工人，在12日采摘完全部茶叶，额外聘请工人的成本为3.2万元.

根据天气预报，该地区5月12日不降雨，13日和14日这两天降雨的概率均为40%.每天是否下雨不相互影响.

（Ⅰ）若采用方案①，求茶厂14日当天采茶的预期收益；

（Ⅱ）从统计学的角度分析，茶厂采用哪种方案更合理.

如图，梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，F分别在线段BC，AD上，EF∥AB．将四边形ABEF沿EF折起，连接AD，AC.

（Ⅰ）若BE＝3，在线段AD上一点取一点P，使，求证：CP∥平面ABEF；

（Ⅱ）若平面ABEF⊥平面EFDC，且线段FA,FC,FD的长成等比数列，求二面角E－AC－F的大小．

如图，平面直角坐标系中， ,，的面积为.

（Ⅰ）求的长；

（Ⅱ）若函数的图象经过三点，其中为的图象与轴相邻的两个交点，求函数的解析式.

十八世纪，法国数学家布丰和勒可莱尔提出投针问题：在平面上画有一组间距为的平行线，将一根长度为的针任意掷在这个平面上，求得此针与平行线中任一条相交的概率（为圆周率）.

已知，，现随机掷14根相同的针（长度为）在这个平面上，记这些针与平行线（间距为）相交的根数为，其相应的概率为.当取得最大值时，　　 　　．

如图，在中，,，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，N.若，     则的最小值是　　 　　．

一个口袋内有5个不同的红球，4个不同的白球.若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于7分的取法有　 　种.

设,则　　 　　．

阅读如图所示的程序，该程序输出的结果是　　 　　．