已知首项为1，公差为1的等差数列的前项和为，则数列的前项和的值为__________．

用一个半径为的钢质球通过切削加工成一个正六棱柱，为了充分利用材料，要使加工的正六棱柱体积最大，则最大体积为_____________．

已知函数，若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围为___________．

某学校给学生订制校服，从全校近万名学生中随机抽取100人，获得其服装尺码（单位：）数据按照区间进行分组，得到频率分布直方图，如图：

（1）根据频率分布直方图计算抽取的100个学生的服装尺码众数的估计值；

（2）用分导抽样的方法从服装尺码在和的学生中共抽取5人，其中尺码在的有几人？

（3）在（2）中抽出的5个学生中，任取2人，求服装尺码在的学生最多有1人的概率．

中，角所对的边分别为，且．

（1）求角的大小；

（2）若，为的中点，求的长．

已知分别为等腰直角三角形的边上的中点，，现把沿折起（如图2），连结，得到四棱锥．

（1）证明：无论把转到什么位置，面面；

（2）当四棱锥的体积最大时，求到面的距离及体积的最大值．

已知动圆过定点，且动圆在轴上截得的弦长的长为4．

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）若为曲线上的动点，过作曲线的切线与交于点．证明 ：以为直径的圆恒过轴上的定点．

已知函数，直线．

（1）若函数在处的切线与直线平行，求实数的值；

（2）设，当时的图象恒在直线的上方，求的最大值．

选修4-1：几何证明选讲

如图：四边形内接于圆，，过作圆的切线与的延长线交于点．

（1）求证：；

（2）若，求的长．

选修4-4：坐标系与参数方程

已知极坐标的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，直线的极坐标为

，曲线的参数方程为（为参数）．

（1）求直线的直角坐标方程及曲线的普通方程；

（2）设与交于两点，为曲线上的任意一点，求面积的最大值．