给定双曲线，若直线过的中心，且与交于两点，为曲线上任意一点，若直线的斜率均存在且分别记为，则 .

已知点的坐标满足，则的取值范围为 .

在数列中，，，是数列的前项和，当不等式恒成立时，的所有可能取值为 .

已知函数的最小正周期为.

（1）求函数在区间上的最大值和最小值；

（2）已知分别为锐角三角形中角的对边，且满足，，求的面积.

某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活用水量逐年上升，下表是2011年至2015年的统计数据：

（1）利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归方程；

（2）根据改革方案，预计在2020年底城镇改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预测该城市2023年的居民生活用水量.

参考公式：，.

如图，在等腰梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，

（1）求证：平面；

（2）点在线段上运动，设平面与平面二面角的平面角为，试求的取值范围.

已知椭圆的两个焦点分别为，，以椭圆短轴为直径的圆经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆相交于两点，设直线的斜率分别为，问是否为定值？并证明你的结论.

设（且），是的反函数.

（1）设关于的方程在区间上有实数解，求的取值范围；

（2）当（为自然对数的底数）时，证明：；

（3）当时，试比较与4的大小，并说明理由.

已知是的外角的平分线，交的延长线于点，延长交的外接圆于点，连接.

（1）求证：；

（2）若是外接圆的直径，，，求的长.

已知曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；

（2）若直线的极坐标方程为，求直线被曲线截得的弦长.