15．已知点F（2，0）是椭圆3kx²+y²=1的一个焦点，则实数k的值是$\frac{1}{15}$．

14．已知椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}$=1的弦AB的中点为M（3，2）．坐标原点为O．
（1）求直线AB的方程；   
（2）求△AOB的面积．

13．如图，椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为32$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）已知N（1，0），若过点N的直线交椭圆M于E，F两点，且-$\frac{27}{2}$≤$\overrightarrow{NE}$•$\overrightarrow{NF}$≤-12，求直线的斜率的取值范围．

12．直线l与椭圆$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，已知向量$\overrightarrow{m}$=（ax₁，by₁），$\overrightarrow{n}$=（ax₂，by₂），若$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，且椭圆离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，又椭圆经过点（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），0为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：△AOB的面积为定值．
（3）若直线l在y轴上截距为1，在y轴上是否存在点P（0，λ）使得以PA，PB为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出λ的取值范围，如果不存在，说明理由．

11．已知椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的左顶点为A，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于B，C两点．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率；
（Ⅱ）设直线AB和AC分别与直线x=4交于点M，N，问：x轴上是否存在定点P使得MP⊥NP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

10．由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C₁：$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1．
（1）若椭圆C₂：$\frac{x^2}{16}+{\frac{y}{4}^2}$=1，判断C₂与C₁是否相似？如果相似，求出C₂与C₁的相似比；如果不相似，请说明理由；
（2）写出与椭圆C₁相似且短半轴长为b的椭圆C_b的方程；若在椭圆C_b上存在两点M、N关于直线y=x+1对称，求实数b的取值范围．

9．已知圆C在x轴上的截距为-1和3，在y轴上的一个截距为1．则圆C的标准方程为（x-1）²+（y+1）²=5．

8．中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上的椭圆E经过两点$R（{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，-\frac{{\sqrt{6}}}{2}}），Q（{\frac{3}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$．分别过椭圆E的焦点F₁、F₂的动直线l₁，l₂相交于P点，与椭圆E分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率k₁、k₂、k₃、k₄满足k₁+k₂=k₃+k₄．
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在定点M、N，使得|PM|+|PN|为定值．若存在，求出M、N点坐标并求出此定值，若不存在，说明理由．

7．设集合u={（x，y）|x∈R，y∈R}，A={（x，y）|2x-y+m≥0}，B={（x，y）|x+y-n＞0}，若点P（2，3）∈A∩C_uB，则m+n的最小值为（　　）

A．

-6

B．

1

C．

4

D．

5

6．已知圆柱的底面半径为4，用与圆柱底面成30°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，建立适当的坐标系，求该椭圆的标准方程和离心率．