3．设数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n²+a_n+1（n∈N^*）．
（1）证明：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$≥3；
（2）设数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为S_n，证明：S_n＜3．

2．已知过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）右焦点F₂的直线y=$\sqrt{3}$（x-c）与双曲线在第一象限交于点A，点F₁为左焦点，且（$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$+$\overrightarrow{{F}_{2}A}$）•$\overrightarrow{{F}_{1}A}$=0，则此双曲线的离心率为（　　）

A．

$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$

B．

$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

C．

$\frac{3}{2}$

D．

$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$

1．设f（x）=$\frac{mx}{1+|x|}$，集合N={y|y=f（x），x∈[a，b]}，若使得N=[a，b]的实数对（a，b）（a＜b）恰好有3个，则实数m的取值范围是m＞1．

20．过点M（-2，0）作直线l与双曲线x²-y²=1交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，求点P的轨迹方程．

19．在△ABC中，点A，B，C的坐标分别为（cosα，sinα），（cos∠ABC，sin∠ABC），（cos∠BCA，-sin∠BCA）．已知向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$满足$\overrightarrow{OA}$+$\sqrt{t}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{\sqrt{t}}$$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，其中O为坐标原点，t为大于零的实数．S_△OAB，S_△OBC，S_△OCA分别表示△OAB，△OBC，△OCA的面积．
（1）若cos∠CAB=f（t），求f（t）的解析式；
（2）当f（t）取得最小值时，求S_△OBC：S_△OCA：S_△OAB；
（3）若O在△ABC的内部（不含边界），由（2）的结果猜想：S_△OBC：S_△OCA：S_△OAB是多少？（直接写出结果，不需给出演步骤）

18．在△ABC中，已知tanA=$\frac{1}{4}$，tanB=$\frac{3}{5}$，且△ABC最大边的长为$\sqrt{17}$，则△ABC的最小边为（　　）

A．

1

B．

$\sqrt{5}$

C．

$\sqrt{2}$

D．

3

17．已知数列{a_n}满足$\frac{{a}_{1}}{1}$+$\frac{{a}_{2}}{2}$+…+$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{n}{2}$．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=$\frac{n+2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：S_n＜1．

16．已知点A，B分别为异面直线a，b上的点，且直线AB与a，b均垂直，动点P∈a，Q∈b，PA+QB为定值，则线段PQ中点M的轨迹是（　　）

A．

平行四边形

B．

圆

C．

椭圆

D．

双曲线

15．已知数列{a_n}满足a₁=-1，a_n=$\frac{-3{a}_{n-1}-8}{2{a}_{n-1}+5}$（n≥2）．
（1）证明：数列{$\frac{1}{{a}_{n}+2}$}是等差数列；
（2）若数列{b_n}满足b_n+1²=b_nb_n+2（n∈N^*），且b₁=2，b₄=16，求数列{（2n-1）a_nb_n}的前n项和S_n．

14．设直线ax-y+3=0与圆（x-1）²+（y-2）²=4有两个不同的交点A，B，且弦AB的长为2$\sqrt{3}$，则a等于0．