4．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$.焦距为2．(1)求椭圆——青夏教育精英家教网—

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4．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，焦距为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）抛物线y²=2px（p＞0）的焦点和椭圆的右焦点重合，过右焦点作斜率为1的直线交椭圆于A，B，交抛物线于C，D，求△OAB和△OCD面积之比（O为坐标原点）

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3．

已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率一次为k₁、k₂，满足4k=k₁+k₂．
（i）当k变化时，m²是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由；
（ii）求△OPQ面积的取值范围．

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2．设P，Q分别为圆x²+（y-3）²=5和椭圆$\frac{x^2}{10}$+y²=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（　　）

A．

2$\sqrt{5}$

B．

$\sqrt{19}$+$\sqrt{2}$

C．

4+$\sqrt{5}$

D．

3$\sqrt{5}$

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1．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0）．已知（1，e）和（e，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆C的方程；
（2）抛物线y²=2px（p＞0）的焦点和椭圆的右焦点重合，过右焦点作斜率为1的直线交椭圆于A，B，交抛物线于C，D，求△OAB和△OCD面积之比（O为坐标原点）

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20．已知点M（-$\sqrt{3}$，0），N（$\sqrt{3}$，0），若椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{a}$+y²=1存在点P使|PM|-|PN|=2$\sqrt{2}$，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　）

A．

（0，1）

B．

（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]

C．

[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）

D．

（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]

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19．已知点M（-$\sqrt{3}$，0），N（$\sqrt{3}$，0），若椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{a}$+y²=1存在点P使|PM|-|PN|=2$\sqrt{2}$，则a的取值范围是（　　）

A．

（0，1）

B．

（1，+∞）

C．

[2，+∞）

D．

[$\sqrt{2}$，+∞）

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18．已知函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$-2lnx，a∈R．
（1）若f（x）在定义域上为单调函数，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂，证明：f（x₂）＜x₂-1．

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17．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$，g（x）=x²-（a+b）x+ab，其中a＜b，a，b∈R⁺．
（1）?x∈R⁺，f（x）≤kx恒成立，求实数k的取值范围；
（2）若g（e）＞0，比较a^b与b^a的大小．

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16．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，F₁，F₂是椭圆C的两个焦点，P是C上任意一点，且△PF₁F₂的周长为8+4$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为（-a，0），点Q（0，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）在线段AB的垂直平分线上，求弦AB的长．

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15．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）圆C₂：x²+y²=b²，在椭圆C₁上存在点P，过点P作圆C₂的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的夹角为$\frac{2π}{3}$，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）

A．

[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）

B．

[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]

C．

[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）

D．

[$\frac{1}{2}$，1）

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