16．双曲线x²-y²=1的顶点到其渐近线的距离等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

15．对于双曲线C_（a，b）：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），若点P（x₀，y₀）满足$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$＜1，则称P在C_（a，b）的外部，若点P（x₀，y₀）满足$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$＞1，则称C_（a，b）在的内部；
（1）若直线y=kx+1上的点都在C_（1，1）的外部，求k的取值范围；
（2）若C_（a，b）过点（2，1），圆x²+y²=r²（r＞0）在C_（a，b）内部及C_（a，b）上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求b、r满足的关系式及r的取值范围；
（3）若曲线|xy|=mx²+1（m＞0）上的点都在C_（a，b）的外部，求m的取值范围．

14．若双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的$\frac{1}{4}$，则该双曲线的离心率为（　　）

A．

$\frac{\sqrt{2}}{3}$

B．

$\frac{2\sqrt{2}}{3}$

C．

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

D．

$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

13．对于双曲线C_（a，b）：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），若点P（x₀，y₀）满足$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$＜1，则称P在的C_（a，b）外部；若
若点P（x₀，y₀）满足$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$＞1，则称P在的C_（a，b）内部：
（1）证明：直线3x-y+1=0上的点都在C_（1，1）的外部；
（2）若点M的坐标为（0，-1），点N在C_（1，1）的内部或C_（1，1）上，求|$\overrightarrow{MN}$|的最小值；
（3）若C_（a，b）经过点（2，1），圆x²+y²=r²（r＞0）在C_（a，b）内部及C_（a，b）上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求b、r满足的关系式及r的取值范围．

12．已知直线y=2x是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一条渐近线，点A（1，0），M（m，n）（n≠0）都在双曲线C上，直线AM与y轴相交于点P，设坐标原点为O．
（1）求双曲线C的方程，并求出点P的坐标（用m，n表示）；
（2）设点M关于y轴的对称点为N，直线AN与y轴相交于点Q，问：在x轴上是否存在定点T，使得TP⊥TQ？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若过点D（0，2）的直线l与双曲线C交于R，S两点，且|$\overrightarrow{OR}$+$\overrightarrow{OS}$|=|$\overrightarrow{RS}$|，试求直线l的方程．

11．已知双曲线：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，焦距为2c，直线y=$\sqrt{3}$（x+c）与双曲线的一个交点M满足∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，则双曲线的离心率为（　　）

A．

$\sqrt{2}$

B．

$\sqrt{3}$

C．

2

D．

$\sqrt{3}$+1

10．已知O为坐标原点，双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-{y^2}=1（a＞0）$上有一点P，过点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，与两渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形OAPB的面积为1，则双曲线C的离心率为（　　）

A．

$\sqrt{2}$

B．

$\sqrt{3}$

C．

2

D．

$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$

9．已知点A（-4，0），直线l：x=-1与x轴交于点B，动点M到A，B两点的距离之比为2．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设C与x轴交于E，F两点，P是直线l上一点，且点P不在C上，直线PE，PF分别与C交于另一点S，T，证明：A，S，T三点共线．

8．已知等比数列{a_n}的前n项为和S_n，且a₃-2a₂=0，S₃=7．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列$\left\{{\frac{n}{a_n}}\right\}$的前n项和T_n．

7．已知F是双曲线C：x²-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1的右焦点，若P是C的左支上一点，A（0，6$\sqrt{6}$）是y轴上一点，则△APF面积的最小值为6+9$\sqrt{6}$．