9．已知数列{an}满足a1=1.an+1=2an+1(n∈N+)(1)求a2.a3.a4.a5,(2)归纳猜想出通项公式an.并且用数学归纳法证明．——青夏教育精英家教网—

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9．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N₊）
（1）求a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）归纳猜想出通项公式a_n，并且用数学归纳法证明．

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8．已知a₁=$\frac{1}{2}，{a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+2{a_n}}}$（n∈N^*）
（1）求a₂，a₃，a₄并由此猜想数列{a_n}的通项公式a_n的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．

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7．甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．
（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；
（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手依次各取两球为两次取球）的成功取法次数为随机变量X，求X的分布列．

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6．设正数数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{a_n}$）．
（1）试求a₁、a₂、a₃；
（2）猜想通项a_n，并用数学归纳法证明你的结论．

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5．

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；
（Ⅱ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求$\frac{PM}{PD}$的值．

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4．已知x，y满足x²+y²=1，求证：|ax+by|≤$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$．

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3．已知：x，y，z∈R⁺且$\frac{x}{2+x}$+$\frac{y}{2+y}$+$\frac{z}{2+z}$=1，求证：$\frac{{x}^{2}}{2+x}$+$\frac{{y}^{2}}{2+y}$+$\frac{{z}^{2}}{2+z}$≥1．

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2．求证：$\frac{n}{{2}^{n}}$＜$\frac{2}{n-1}$（n≥2，n∈N）

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1．已知a＞b＞0，求证：$\frac{a-b}{a+b}$+$\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$＜1．

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20．

在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD为矩形，A（1，0），B（2，0），C（2，$\sqrt{6}$），又A₁（-1，0）．点M在直线CD上，点N在直线BC上，且$\overrightarrow{DM}$=λ$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{BN}$=λ$\overrightarrow{BC}$（λ∈R）．
（1）求直线AM与A₁N的交点Q的轨迹S的方程；
（2）过点P（1，1）能否作一条直线l，与曲线S交于E、F两点，且点P是线段EF的中点．

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