过点作直线交椭圆于两点，若点恰为线段的中点，则直线的方程为 ．

若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．

设为抛物线上的两动点，且线段的长为6，为线段的中点，则点到轴的最短距离为 ．

过椭圆的左顶点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点，为中点，定点满足：对于任意的都有，则点的坐标为 ．

已知．

（1）是的什么条件？

（2）若是的必要非充分条件，求实数的取值范围．

设分别是椭圆的左右焦点，是上一点，且与轴垂直，直线与的另一个交点为．

（1）若直线的斜率为，求的离心率；

（2）若直线在轴上的截距为2，且，求椭圆的方程．

根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件根据统计资料，每日产品废品率与日产量 （件）之间近似地满足关系式（日产品废品率=×100％） ．

已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润日正品赢利额日废品亏损额）

（1）将该车间日利润（千元）表示为日产量（件）的函数；

（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？

设为虚数单位，为正整数，．

（1）用数学归纳法证明：；

（2）已知，试利用（1）的结论计算；

（3）设复数，求证：．

阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象，现象（1）：光线经平面镜反射满足入射角与反射角相等（如图1）；现象（2）：光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点（如图2）．试结合上述事实现象完成下列问题：

（1）有一椭圆型台球桌，长轴长为，短轴长为．将一放置于焦点处的桌球击出，经过球桌边缘的反射（假设球的反射完全符合现象（2）后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为，求的值（用表示）；

（2）结论：椭圆上任一点处的切线的方程为．记椭圆的方程为．

①过椭圆的右准线上任一点向椭圆引切线，切点分别为，求证：直线恒过一定点；

②设点为椭圆上位于第一象限内的动点，为椭圆的左右焦点，点为的内心，直线与轴相交于点，求点横坐标的取值范围．

已知函数的图像在点处切线的斜率为，记奇函数的图像为．

（1）求实数的值；

（2）当时，图像恒在的上方，求实数的取值范围；

（3）若图像与有两个不同的交点，其横坐标分别是，设，求证：．[来