科目： 来源： 题型：解答题

8．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A₁、C、D三点的平面记为α，BB₁与α的交点为Q．
（Ⅰ）证明：Q为BB₁的中点；
（Ⅱ）若AA₁=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，∠ADC=60°，求平面α与底面ABCD所成锐二面角的大小．

科目： 来源： 题型：解答题

7．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=AA₁=4，AB=3，AB⊥AC．
（Ⅰ）求证：A₁C⊥平面ABC₁；
（Ⅱ）求二面角A-BC₁-A₁的平面角的余弦值．

科目： 来源： 题型：选择题

科目： 来源： 题型：解答题

5．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，AB=5，BC=4，AC=CC₁=3，D为AB的中点
（Ⅰ）求证：AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求异面直线AC₁与CB₁所成角的余弦值；
（Ⅲ）求二面角D-CB₁-B的余弦值．

科目： 来源： 题型：解答题

4．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AA₁=AB=AC，BC=$\sqrt{2}$AB，且AA₁⊥平面ABC，点M、Q分别是BC、CC₁的中点，点P是棱A₁B₁上的任一点．
（1）求证：AQ⊥MP；
（2）若平面ACC₁A₁与平面AMP所成的锐角二面角为θ，且cosθ=$\frac{2}{3}$，试确定点P在棱A₁B₁上的位置，并说明理由．

科目： 来源： 题型：解答题

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2．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱A₁A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA₁=2，AD=CD=$\sqrt{5}$．用向量法解决下列问题：
（Ⅰ）若AC的中点为E，求A₁C与DE所成的角；
（Ⅱ）求二面角B₁-AC-D₁（锐角）的余弦值．

科目： 来源： 题型：解答题

1．边长为2的正方形ABCD所在的平面与△CDE所在的平面交于CD，且AE⊥平面CDE，AE=1．
（Ⅰ）求证：平面ABCD⊥平面ADE；
（Ⅱ）设点F是棱BC上一点，若二面角A-DE-F的余弦值为$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，试确定点F在BC上的位置．

科目： 来源： 题型：解答题

20．已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，PA⊥面ABCD，PA=AD=2，∠ABC=60°，E为PD中点．
（1）求证：PB∥平面ACE；
（2）求二面角E-AC-D的正切值．

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19．如图1，在直角梯形ADCE中，AD∥EC，∠ADC=90°，AB⊥EC，AB=EB=1，$BC=\sqrt{2}$．将△ABE沿AB折到△ABE₁的位置，使∠BE₁C=90°．M，N分别为BE₁，CD的中点．如图2．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ADE₁；
（Ⅱ）求证：AM⊥E₁C；
（Ⅲ）求平面AE₁N与平面BE₁C所成锐二面角的余弦值．