3．已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$的焦距为2$\sqrt{3}$.离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．——青夏教育精英家教网—

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3．

已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$的焦距为2$\sqrt{3}$，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若M，N，P是椭圆C上不同的三点，且满足$\overrightarrow{OM}+λ\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OP}$（O为坐标原点），求实数λ的取值范围．

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2．

如图，在△ABC中，D是线段BC上的一点，且$\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow{BD}$，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，N，若$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=μ$\overrightarrow{AC}$（λ＞0，μ＞0），则λ+3μ的最小值是3．

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1．在平面直角坐标系xOy中，设点A（-1，2）在矩阵$M=[{\begin{array}{l}{-1}&0\\ 0&1\end{array}}]$对应的变换作用下得到点A′，将点B（3，4）绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标．

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20．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，以原点O为圆心，b为半径的圆与直线x-y+2=0相切，A、B分别是椭圆的左、右顶点，P为椭圆C上的动点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若P与A，B均不重合，直线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂，求k₁•k₂的值；
（Ⅲ）设M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若$\frac{|OP|}{|OM|}$=λ（$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤λ＜1），求点M的轨迹方程．

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19．已知函数f（x）=e^x-ax-1．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+b，求实数a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）在[0，+∞）上的最小值；
（Ⅲ）证明：${1^n}+{3^n}+…+{（2n-1）^n}＜\frac{{\sqrt{e}}}{e-1}{（2n）^n}$．

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18．已知a为正整数，f（x）=ax²+4ax-2x+4a-7，若y=f（x）至少有一个零点x₀且x₀为整数，则a的取值为1或5．

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17．正四棱锥的底面积是24cm²，侧面等腰三角形的面积为18cm²，四棱锥侧棱的长度．

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16．已知函数f（x）=lnx+$\frac{1}{2}$ax²+x，a∈R
（Ⅰ）若f（1）=0，求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-ax²-ax+1，讨论函数g（x）的单调区间；
（Ⅲ）若a=4，正实数x₁，x₂满足f（x₁）+f（x₂）+3x₁x₂=0，证明x₁+x₂≥$\frac{1}{2}$．

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15．若x，y满足方程x²+（y-1）²=1，不等式x+y+c≥0恒成立，则实数c的取值范围是[$\sqrt{2}$-1，+∞）；
若x，y满足方程x²+（y-1）²=1，x+y+c=0，则实数c的取值范围是[$-1-\sqrt{2}，\sqrt{2}-1$]．

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14．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x²+y²-4x+2y=0．若直线y=3x+b上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数b的取值范围是-17≤b≤3．

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