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20．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，PA=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$a，AD=2a．
（1）若AE⊥PD，E为垂足，求异面直线AE与CD所成角的余弦值；
（2）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的正切值．

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19．如图边长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是CC₁，B₁C₁的中点，
（Ⅰ）证明：A₁N∥平面AMD₁；
（Ⅱ）求二面角M-AD₁-D的余弦值．

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18．在四棱锥P-ABCD中，△ABC，△ACD都为等腰直角三角形，∠ABC=∠ACD=90°，△PAC是边长为2的等边三角形，PB=$\sqrt{2}$，E为PA的中点．
（Ⅰ）求证：BE⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角C-PA-D的余弦值．

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17．在如图所示的几何体中，A₁B₁C₁-ABC是直三棱柱，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且$AB=BD=\frac{1}{2}CD=2$，∠BDC=60°，E是C₁D的中点．
（Ⅰ）求证：AE∥平面BB₁D；
（Ⅱ）当A₁A为何值时，平面B₁C₁D与平面ABDC所成二面角的大小等于45°？

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16．如图所示，已知椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{1}{2}$，E的右焦点到直线y=x+1的距离为$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设椭圆E的右顶点为A，不经过点A的直线l与椭圆E交于M，N两点，且以MN为直径的圆过A，求证：直线l恒过定点，并求出此定点坐标．

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15．如图所示，已知椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$过点$（{1，\frac{3}{2}}）$，直线l：y=kx+1（k≠0）与椭圆E交于A，B两点，当k=1时，椭圆E的右焦点到直线l的距离为$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设点A关于y轴的对称点为A'，试问：直线A'B是否恒过y轴上的一个定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

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14．如图所示，已知椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$过点$（{\sqrt{2}，\sqrt{2}}）$，直线l：y=kx（k≠0）与椭圆E交于P、A两点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C点，直线AC交椭圆E与另一点B，当$k=\sqrt{2}$时，椭圆E的右焦点到直线l的距离为$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆E的方程；
（2）试问∠APB是否为定值？若为定值，求出其值；若不为定值，说明理由．

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13．如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PF=FA．
（1）求证：BE⊥平面PAC．
（2）求平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值．

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12．如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是PC，PA的中点，且PA=AB=2AD．
（I）求证：MN⊥CD；
（Ⅱ）求二面角P-AB-M的余弦值．

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11．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．PO=$\sqrt{2}$，AB=2．求证：
（1）求棱锥P-ABCD体积；
（2）平面PAC⊥平面BDE；
（3）求二面角E-BD-C的大小．