8．已知f(α)=cosα$\sqrt{\frac{1-sinα}{1+sinα}}$+sinα$\sqrt{\frac{1-cosα}{1+cosα}}$(Ⅰ)当α为第二象限角时.化简f(α),(Ⅱ——青夏教育精英家教网—

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8．已知f（α）=cosα$\sqrt{\frac{1-sinα}{1+sinα}}$+sinα$\sqrt{\frac{1-cosα}{1+cosα}}$
（Ⅰ）当α为第二象限角时，化简f（α）；
（Ⅱ）当α∈（$\frac{π}{2}$，π）时，求f（α）的最大值．

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7．设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作x轴的垂线与双曲线交于B，C两点（点B在x轴上方），过点B作斜率为负数的渐近线的垂线，过点C作斜率为正数的渐近线的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于虚轴长的2倍，则双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

A．

1＜e＜$\sqrt{3}$

B．

e＞$\sqrt{3}$

C．

1＜e＜$\sqrt{5}$

D．

e＞$\sqrt{5}$

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6．已知函数f（x）=x²e^2x+m|x|e^x+1（m∈R）有四个零点，则m的取值范围为（　　）

A．

（-∞，-e-$\frac{1}{e}$）

B．

（-∞，e+$\frac{1}{e}$）

C．

（-e-$\frac{1}{e}$，-2）

D．

（-∞，-$\frac{1}{e}$）

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5．（1）求函数f（x）=xlnx-（1-x）ln（1-x）在0＜x≤$\frac{1}{2}$上的最大值；
（2）证明：不等式x^1-x+（1-x）^x≤$\sqrt{2}$在（0，1）上恒成立．

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4．已知椭圆Г：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，F₂与椭圆上点的连线的中最短线段的长为$\sqrt{2}$-1．
（1）求椭圆Г的标准方程；
（2）已知Г上存在一点P，使得直线PF₁，PF₂分别交椭圆Г于A，B，若$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=2$\overrightarrow{{F}_{1}A}$，$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=λ$\overrightarrow{{F}_{2}B}$（λ＞0），求λ的值．

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3．已知函数f（x）=$\frac{alnx-b{e}^{x}}{x}$ （a，b∈R，且a≠0，e为自然对数的底数）．
（I）若曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为0，且f（x）有极小值，求实数a的取值范围．
（II）（i）当 a=b=l 时，证明：xf（x）+2＜0；
（ii）当 a=1，b=-1 时，若不等式：xf（x）＞e+m（x-1）在区间（1，+∞）内恒成立，求实数m的最大值．

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2．已知函数f（x）=xlnx，e为自然对数的底数．
（1）求曲线y=f（x）在x=e^-2处的切线方程；
（2）关于x的不等式f（x）≥λ（x-1）在（0，+∞）上恒成立，求实数λ的值；
（3）关于x的方程f（x）=a有两个实根x₁，x₂，求证：|x₁-x₂|＜2a+1+e^-2．

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1．已知$\overrightarrow a$=（cosα，sinα），$\overrightarrow b$=（cosβ，sinβ），$-\frac{π}{2}$＜α＜β＜$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）若$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，求$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|$；
（Ⅱ）设$\overrightarrow c$=（1，0），若$\overrightarrow a+\overrightarrow b=\overrightarrow c$，求α，β的值．

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20．

已知M、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线MN上，且MP=2PN，设向量$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，则$\overrightarrow{OP}$=（　　）

A．

$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{c}$

B．

$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{c}$

C．

$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{c}$

D．

$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{c}$

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19．已知函数$f（x）=ax+\frac{b}{x}$（其中a，b为常数）的图象经过（1，2），$（{2\;，\;\;\frac{5}{2}}）$两点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明函数f（x）在（1，+∞）是增函数；
（3）若不等式$\frac{{{{25}^m}}}{3}-{5^m}≥f（x）$对任意$x∈[{\frac{1}{2}\;，\;\;3}]$恒成立，求实数m的取值范围．

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