4．已知函数f（x）=$\frac{1}{e}•{e^x}+\frac{a}{2}{x^2}$-（a+1）x+a（a＞0），其中e为自然对数的底数．若函数y=f（x）与y=f[f（x）]有相同的值域，则实数a的最大值为（　　）

A．

e

B．

2

C．

1

D．

$\frac{e}{2}$

3．设向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=4，\overrightarrow a•\overrightarrow b=1$，则$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$=（　　）

A．

2

B．

$2\sqrt{3}$

C．

3

D．

$2\sqrt{5}$

2．已知f（x）=ln（x+m）-mx．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设m＞1，x₁，x₂为函数f（x）的两个零点，求证：x₁+x₂＜0．

1．如图，抛物线E：y²=2px（p＞0）与圆O：x²+y²=8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2．过劣弧AB上动点P（x₀，y₀）作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l₁，l₂，l₁与l₂相交于点M．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）求动点M的轨迹方程．

20．如图1，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，点E为AD中点，沿BE将△ABE折起至△PBE，如图2所示，点P在面BCDE的射影O落在BE上．

（Ⅰ）求证：BP⊥CE；
（Ⅱ）求二面角B-PC-D的余弦值．

19．某校计划面向高一年级1200名学生开设校本选修课程，为确保工作的顺利实施，先按性别进行分层抽样，抽取了180名学生对社会科学类，自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查，其中男生有105人．在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45人．
（Ⅰ）分别计算抽取的样本中男生及女生选择社会科学类的频率，并以统计的频率作为概率，估计实际选课中选择社会科学类学生数；
（Ⅱ）根据抽取的180名学生的调查结果，完成下列列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？

	选择自然科学类	选择社会科学类	合计
男生	60	45	105
女生	30	45	75
合计	90	90	180

附：${K^2}=\frac{{n{{（{ab-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，其中n=a+b+c+d．

P（K2≥k0）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
K0	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

18．已知$\overrightarrow a=（{sinx，\sqrt{3}cosx}）$，$\overrightarrow b=（{cosx，-cosx}）$，函数f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅰ）求函数y=f（x）图象的对称轴方程；
（Ⅱ）若方程f（x）=$\frac{1}{3}$在（0，π）上的解为x₁，x₂，求cos（x₁-x₂）的值．

17．不共线向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|$，且$\overrightarrow a⊥（{\overrightarrow a-2\overrightarrow b}）$，则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为$\frac{π}{3}$．

16．等比数列{a_n}满足a_n＞0，且a₂a₈=4，则log₂a₁+log₂a₂+log₂a₃+…+log₂a₉=9．

15．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（　　）

A．

0条

B．

1条

C．

2条

D．

1条或2条